23 ember. A mindössze 23 fős szobában 50-50 esély van arra, hogy legalább két embernek ugyanaz a születésnapja legyen. A 75 fős szobában 99,9% esély van arra, hogy legalább két ember találkozzon.
Tegye le a számológépet és a szurokfejet, nem beszélek eretnekségről. A születésnapi paradoxon furcsa, ellentmondásos és teljesen igaz. Ez csak egy “paradoxon”, mert az agyunk nem képes kezelni a kitevők összetett erejét. A valószínűségeket lineárisnak tekintjük, és csak azokat a forgatókönyveket vesszük figyelembe, amelyekben részt veszünk (mellesleg mindkét hibás feltételezés).
Lássuk, miért történik a paradoxon és hogyan működik.
1. probléma: A kitevők nem intuitívak
Matematikát és statisztikát tanítottunk magunknak, de ne tréfáljuk meg magunkat: ez nem természetes.
Íme egy példa: Mekkora esély van arra, hogy 10 fejet szerezzünk egymás után érmék felfordításakor? A képzetlen agy gondolhatja így:
“Nos, egy fej megszerzése 50% -os esély. Két fej megszerzése kétszer olyan nehéz, tehát 25% esély. Tíz fej megszerzése valószínűleg tízszer nehezebb … tehát körülbelül 50% / 10 vagy 5% az esély. ”
És ott ülünk, önelégülten, mint egy hiba a szőnyegen. Nincs dobókocka.
De edzés után is újra elkapunk. 5% -os kamat mellett 14 év alatt megduplázzuk a pénzünket, nem pedig a “várt” 20-at. Természetesen a 72-es szabályra következtettél a kamatlábak ismeretében? Valószínűleg nem. Nehéz megérteni az összetett exponenciális növekedést lineáris agyunkkal.
2. probléma: Az emberek kissé önzőek
Vessen egy pillantást a hírekre. Figyelje meg, hogy a negatív hírek mekkora része másoknak való megfelelés nélküli cselekvés eredménye. optimista és reménykedik az emberiség iránt, de ez egy külön vita :).
A 23 fős szobában gondolsz arra a 22 összehasonlításra, ahol a születésnapodat összehasonlítják valakivel? Valószínűleg.
Gondolsz azokra a 231 összehasonlításra, ahol valakit, aki nem te vagy, ellenőriznek másvalakivel, aki nem te vagy? Tudod, hogy ennyien vannak? Valószínűleg nem.
Az a tény, hogy elhanyagoljuk a tízszer annyi összehasonlítást, amely nem tartalmaz bennünket, segít megérteni, miért történhet a “paradoxon”.
Oké, rendben, az emberek szörnyűek: Mutasd meg a matematikát!
A q uestion: Mennyi az esélye annak, hogy két ember születésnapot oszt meg egy 23 fős csoportban?
Biztos, hogy felsorolhatnánk a párokat, és megszámolhatnánk az összes módjukat. De ez nehéz: lehet 1, 2, 3 vagy akár 23 meccs is!
Olyan, mintha azt kérdeznénk: “Mi az esélye annak, hogy egy vagy több fejet szerezzünk 23 érmeforgatásban?” Nagyon sok lehetőség van: fejek az első dobásra, vagy a 3., vagy az utolsó, vagy az 1. és a 3., a 2. és a 21. és így tovább.
Hogyan oldjuk meg az érme problémáját? Fordítsd meg (szerezd meg? Szerezd meg?). Ahelyett, hogy számolnád a fejek megszerzésének minden módját, találd meg az esélyt, hogy minden farkat megszerezz, a “problémás forgatókönyvünk”.
Ha 1% esély van a megszerzésére minden farok (inkább, mint .5 ^ 23, de itt dolgozzon velem), 99% esély van arra, hogy legalább egy feje legyen. Nem tudom, hogy 1 fej-e, vagy 2, vagy 15 vagy 23: kaptunk fejeket, és ez számít. Ha egy problémás forgatókönyv esélyét kivonjuk 1-ből, akkor marad egy jó forgatókönyv valószínűsége.
Ugyanez az elv érvényes a születésnapokra is. Ahelyett, hogy megtalálnánk az összes egyeztetési módot, keresse meg annak esélyét, hogy mindenki más legyen, a “probléma forgatókönyvet”. Ezután fordított valószínűséggel vesszük figyelembe, és megkapjuk a mérkőzés esélyét. Lehet, hogy 1 meccs, vagy 2, vagy 20, valaki megfelelt, amit meg kell találnunk.
Magyarázat: Párok számlálása (hozzávetőleges képlet)
23 emberrel 253 párunk van:
(Ha tetszik, bővítse a kombinációkat és a permutációkat).
Két ember születésnapja különböző eséllyel:
Van értelme, igaz? Ha egy ember születésnapját hasonlítjuk egy másikhoz, 365 forgatókönyvből 364-ben nem fognak megfelelni. .
De ha 253 összehasonlítást hajtunk végre, és mindegyik különbözik, az annyit jelent, mintha egymás után 253-szor kapnánk fejet – minden alkalommal el kellett kerülni a „farok” elől. Legyen megközelítő megoldás a születésnapi összehasonlítások színlelésével. olyanok, mint az érmefordítók. (A pontos számításhoz lásd az A. függeléket.)
Hatványozókkal keressük meg a valószínűséget:
Elég nagy az esélyünk arra, hogy egyetlen hibát szerezzünk (99,7260%), de ha ezt a lehetőséget több százszor kihasználja, akkor csökken az esélye annak, hogy ezt a csíkot megtartsa. Gyors.
Az esély, hogy találunk egyezést: 1 – 49,95% = 50,05%, vagy alig több mint a fele! Ha meg akarja találni az egyezés valószínűségét tetszőleges számú ember számára, akkor a képlet a következő:
Interaktív példa
Nem hittem, hogy csak 23 emberre van szükségünk. A matematika jól működik, de valós?
Fogadsz.Próbálja ki az alábbi példát: Válasszon ki számos elemet (365), embereket (23) és futtasson néhány próbát. Látni fogja az elméleti és a tényleges mérkőzést, amikor futtatja a próbákat. Kattintson előre a gombra (vagy tekintse meg a teljes oldalt).
Ahogy egyre több kísérletet hajt végre (folyamatosan kattintson!), A tényleges valószínűségnek megközelítenie kell az elméleti szintet.
Példák és elvihetők
Íme néhány tanulság a születésnapi paradoxonból:
- $ \ sqrt {n} $ nagyjából az a szám, amelyre 50% esélyed van n elemgel egyezik. A $ \ sqrt {365} $ körülbelül 20. Ez a születésnapi támadás rejtjelezésében játszik szerepet.
- Annak ellenére, hogy van 2128 (1e38) GUID, csak 264 (1e19) van felhasználható előttünk. az ütközés 50% esélye. Az 50% pedig nagyon-nagyon magas.
- Csak 13 emberre van szükséged, akik az ábécé betűit választják, hogy 95% esélyed legyen a meccsre. Próbálja ki fent (emberek = 13, tárgyak = 26).
- Az exponenciális növekedés gyorsan csökkenti az egyedi tárgyak kiválasztásának esélyét (más néven növeli a mérkőzés esélyét). Ne feledje: az exponensek nem intuitívak, az emberek pedig önzőek!
Miután sokat gondolkodtam rajta, a születésnapi paradoxon végül rám kattint. De azért mégis megnézem az interaktív példát, hogy megbizonyosodjak róla.
A függelék: Ismételt szorzás magyarázat (Pontos képlet)
Emlékszel arra, hogy feltételeztük, hogy a születésnapok függetlenek? Nos, nem.
Ha az A és B személy, valamint a B és C személy megegyezik, akkor tudjuk, hogy A és C-nek is meg kell egyeznie. Az A és C illesztésének eredménye a B-vel kapott eredményektől függ, így a valószínűségek nem függetlenek. (Ha valóban független, A és C esélye 1/365 lenne a párosításra, de tudjuk, hogy ez 100% -os garantált meccs.)
Párok számlálásakor a születésnapi mérkőzéseket érmefordítóként kezeltük, szorozva. ugyanaz a valószínűség újra és újra. Ez a feltételezés nem szigorúan igaz, de kevés ember számára (23) elegendő a minta nagyságához (365) képest. Nem valószínű, hogy több ember egyezik és elcseszi a függetlenséget, ezért jó közelítés.
Nem valószínű, de előfordulhat. Kitaláljuk, hogy valakinek milyen esélyei vannak, ha más-más számot választ:
A szorzás elég csúnyának tűnik:
De van egy parancsikon, amelyet megtehetünk. Ha x 0-hoz közelít, akkor durva első rendű Taylor-közelítés a $ e ^ x értékhez $ is:
tehát
A praktikus parancsikon segítségével átírhatjuk a nagy egyenletet:
1 hozzáadása 22-hez (22 * 23) / 2, így kapjuk:
Phew. Ez a közelítés nagyon közel van, csatlakoztassa az alábbi saját számokat:
Elég jó a kormányzati munkához, ahogy mondani szokták. Ha kissé leegyszerűsíted a képletet, és kicseréled az n értékét 23-ra, akkor kapsz:
és
B függelék: Az általános születésnapi képlet
Általánosítsuk a képletet úgy, hogy n embert válasszunk ki T összes tételből (365 helyett) :
Ha valószínűséget (például egy mérkőzés 50% -os esélyét) választunk, és megoldjuk n-re:
Voila! Ha $ \ sqrt {T} $ tételt veszel (17% -kal többet, ha válogatós akarsz lenni), akkor körülbelül 50-50 esélyed van arra, hogy meccset szerezz. Ha más számokat csatlakoztat, más valószínűségeket is megoldhat:
Ne feledje, hogy m az egyezés kívánt esélye ( könnyű összezavarodni, én magam csináltam). Ha 90% esélyt szeretnél kapni a születésnapokra, csatlakoztasd az m = 90% és a T = 365 értékeket az egyenletbe, és nézd meg, hogy 41 emberre van szükséged.
A Wikipédia még több részletet tartalmaz, hogy kielégítsd belső furfangodat. Menjen tovább, és élvezze.
További bejegyzések ebben a sorozatban
- A valószínűség rövid bemutatása & Statisztika
- A Bayes intuitív (és rövid) magyarázata “Tétel
- A Bayes-tétel megértése arányokkal
- A Monty Hall-probléma megértése
- Az adatok elemzése a Átlagos
- A születésnapi paradoxon megértése