Processus adiabatique

Léquation mathématique dun gaz parfait subissant une réversible (cest-à-dire non génération dentropie) le processus adiabatique peut être représenté par léquation du processus polytropique

PV γ = constant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},}

où P est la pression, V est le volume, et dans ce cas n = γ, où

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP étant la chaleur spécifique pour pression constante, CV étant la chaleur spécifique pour volume constant, γ est lindice adiabatique, et f est le nombre de degrés de liberté (3 pour le gaz monatomique, 5 pour le gaz diatomique et les molécules colinéaires, par exemple le dioxyde de carbone).

Pour un gaz parfait monoatomique, γ = 5/3, et pour un gaz diatomique (tel que lazote et loxygène, les principaux composants de lair), γ = 7/5. Notez que la formule ci-dessus nest applicable quaux gaz parfaits classiques et non aux gaz de Bose – Einstein ou de Fermi.

Pour les processus adiabatiques réversibles, il est également vrai que

P 1 – γ T γ = constant , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constante}},} VT f 2 = constante, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constante}},}

où T est une température absolue. Cela peut aussi sécrire

T V γ – 1 = constant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Exemple de compression adiabatiqueEdit

La course de compression dans un moteur à essence peut être utilisée comme exemple dadiabatique compression. Les hypothèses du modèle sont les suivantes: le volume non comprimé de la bouteille est dun litre (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); le gaz à lintérieur est lair constitué uniquement dazote moléculaire et doxygène (donc un gaz diatomique à 5 degrés de liberté, donc γ = 7/5); le taux de compression du moteur est de 10: 1 (cest-à-dire que le volume de 1 L de gaz non comprimé est réduit à 0,1 L par le piston); et le gaz non comprimé est à environ la température et la pression ambiantes (une température ambiante chaude de ~ 27 ° C, ou 300 K, et une pression de 1 bar = 100 kPa, cest-à-dire une pression atmosphérique typique au niveau de la mer).

P 1 V γ = constante 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ nom_opérateur {constante} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ fois 6,31 \ fois 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

donc notre constante adiabatique pour cet exemple est denviron 6,31 Pa m4,2.

Le gaz est maintenant comprimé à un volume de 0,1 L (0,0001 m3) (nous supposerons que cela se produit assez rapidement pour quaucune chaleur ne puisse entrer ou sortir du gaz à travers les parois). La constante adiabatique reste la même, mais avec la pression résultante inconnue

P 2 V γ = constante 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ fois (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

donc la résolution de P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ fois 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ fois 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

ou 25,1 bar. Notez que cette augmentation de pression est plus quun simple taux de compression de 10: 1 ne lindiquerait; en effet, le gaz nest pas seulement comprimé, mais le travail effectué pour comprimer le gaz augmente également son énergie interne, ce qui se traduit par une élévation de la température du gaz et une élévation supplémentaire de pression au-dessus de ce qui résulterait dun calcul simpliste de 10 fois la pression dorigine.

Nous pouvons également résoudre la température du gaz comprimé dans le cylindre du moteur, en utilisant la loi des gaz parfaits, PV = nRT (n est la quantité de gaz en moles et R le gaz constante pour ce gaz). Nos conditions initiales étant 100 kPa de pression, 1 L de volume et 300 K de température, notre constante expérimentale (nR) est:

PVT = constante 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Nous savons que le gaz comprimé a V = 0,1 L et P = 2,51 × 106 Pa, donc nous pouvons résoudre pour la température:

T = constante PV 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Cest une température finale de 753 K, ou 479 ° C, ou 896 ° F, bien au-dessus du point dallumage de nombreux carburants. Cest pourquoi un moteur à haute compression nécessite des carburants spécialement formulés pour ne pas senflammer spontanément (ce qui provoquerait un cognement du moteur lorsquil fonctionnait dans ces conditions de température et de pression), ou quun compresseur avec un refroidisseur intermédiaire pour fournir une surpression mais avec un une élévation de température serait avantageuse. Un moteur diesel fonctionne dans des conditions encore plus extrêmes, avec des taux de compression de 16: 1 ou plus typiques, afin de fournir une température de gaz très élevée, ce qui garantit un allumage immédiat du carburant injecté.

Sans adiabatique expansion dun gasEdit

Pour une expansion libre adiabatique dun gaz parfait, le gaz est contenu dans un récipient isolé et ensuite autorisé à se dilater sous vide. Comme il ny a pas de pression externe contre laquelle le gaz se dilate, le travail effectué par ou sur le système est nul. Puisque ce processus nimplique aucun transfert de chaleur ou travail, la première loi de la thermodynamique implique alors que le changement net dénergie interne du système est nul. Pour un gaz parfait, la température reste constante car lénergie interne ne dépend que de la température dans ce cas. Comme à température constante, lentropie est proportionnelle au volume, lentropie augmente dans ce cas, donc ce processus est irréversible.

Dérivation de la relation P – V pour le chauffage et le refroidissement adiabatiques Modifier

La définition dun processus adiabatique est que le transfert de chaleur vers le système est nul, δQ = 0. Ensuite, selon la première loi de la thermodynamique,

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

où dU est le changement de lénergie interne du système et δW est le travail effectué par le système. Tout travail (δW) effectué doit être effectué aux dépens de lénergie interne U, car aucune chaleur δQ nest fournie par lenvironnement. Le travail pression – volume δW effectué par le système est défini par

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

Cependant, P ne reste pas constant pendant un processus adiabatique mais change à la place avec V.

On souhaite savoir comment les valeurs de dP et dV se rapportent lune à lautre au fur et à mesure du déroulement du processus adiabatique. Pour un gaz parfait (rappel de la loi des gaz parfaits PV = nRT) l’énergie interne est donnée par

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

où α est le nombre de degrés de liberté divisé par deux, R est la constante de gaz universelle et n est le nombre de moles dans le système (une constante).

Léquation de différenciation (3) donne

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Léquation (4) est souvent exprimée comme dU = nCV dT car CV = αR.

Remplacez maintenant les équations (2) et (4) dans léquation (1) pour obtenir

– P d V = α P d V + α V d P, {\ Displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

factoriser −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

et divisez les deux côtés par PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Après avoir intégré les côtés gauche et droit de V0 à V et de P0 à P et en changeant respectivement les côtés,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Exponentiate les deux côtés, remplacez α + 1 / α par γ, le rapport de capacité thermique

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

et éliminez le signe négatif pour obtenir

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Par conséquent,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

et

P 0 V 0 γ = PV γ = constant. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Dérivation de la relation P – T pour le chauffage et le refroidissement adiabatiques Modifier

En remplaçant la loi des gaz parfaits par celle ci-dessus, on obtient

P (n RTP) γ = constant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

qui se simplifie en

P 1 – γ T γ = constant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Dérivation dune formule discrète et dune expression de travailEdit

Le changement dénergie interne dun système , mesuré de létat 1 à létat 2, est égal à

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Dans le même temps, le travail effectué par les changements de pression-volume à la suite de ce processus, est égal à

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Puisque nous exigeons que le processus soit adiabatique, léquation suivante doit être vraie

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Par le précédent dérivation,

(4) PV γ = constant = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Réorganiser (4 ) donne

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Substituer ceci dans (2) donne

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

En intégrant, on obtient lexpression pour le travail,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

En remplaçant γ = α + 1 / α dans le second terme,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Réorganisation,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

En utilisant la loi des gaz parfaits et en supposant une quantité molaire constante (comme cela arrive souvent dans les cas pratiques),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1 ) . {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Par la formule continue,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

ou

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

En remplaçant dans lexpression précédente pour W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

En substituant cette expression et (1) dans (3), on obtient

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Simplification,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ gauche ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ droite) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }