P contre NPEdit
La question est de savoir si, pour tous les problèmes pour lesquels un Lalgorithme peut vérifier rapidement une solution donnée (cest-à-dire en temps polynomial), un algorithme peut également trouver cette solution rapidement. Puisque le premier décrit la classe de problèmes appelée NP, tandis que le second décrit P, la question équivaut à se demander si tous les problèmes de NP sont également en P. Ceci est généralement considéré comme lune des questions ouvertes les plus importantes en mathématiques et en informatique théorique. car il a des conséquences de grande portée sur dautres problèmes de mathématiques, ainsi que sur la biologie, la philosophie et la cryptographie (voir P versus NP problèmes de la preuve des conséquences). Un exemple courant dun problème NP dont on ne sait pas quil se trouve dans P est le problème de satisfiabilité booléenne.
La plupart des mathématiciens et des informaticiens sattendent à ce que P ≠ NP; cependant, il reste à prouver.
La déclaration officielle du problème a été donnée par Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
La conjecture de Hodge est que pour les variétés algébriques projectives, les cycles de Hodge sont des combinaisons linéaires rationnelles de cycles algébriques.
Lénoncé officiel du problème a été donné par Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Lhypothèse de Riemann est que tous les zéros non triviaux de la suite analytique de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle de 1/2. Une preuve ou une réfutation de cela aurait des implications de grande portée dans la théorie des nombres, en particulier pour la distribution des nombres premiers. Cétait le huitième problème de Hilbert, et il est toujours considéré comme un problème ouvert important un siècle plus tard.
La déclaration officielle du problème a été donnée par Enrico Bombieri.
Existence de Yang – Mills et lécart de masseEdit
En physique, la théorie classique de Yang – Mills est une généralisation de la théorie de Maxwell de lélectromagnétisme où le champ chromo-électromagnétique elle-même porte une charge. En tant que théorie classique des champs, elle a des solutions qui se déplacent à la vitesse de la lumière de sorte que sa version quantique devrait décrire des particules sans masse (gluons). Il sagit de lécart de masse. Un autre aspect du confinement est la liberté asymptotique qui permet de concevoir que la théorie quantique de Yang-Mills existe sans restriction aux échelles de basse énergie. Le problème est détablir rigoureusement lexistence de la théorie quantique de Yang-Mills et un écart de masse.
La déclaration officielle du problème a été donnée par Arthur Jaffe et Edward Witten.
Existence et douceur de Navier – StokesModifier
Les équations de Navier – Stokes décrivent le mouvement des fluides et sont lun des piliers de la mécanique des fluides. Cependant, la compréhension théorique de leurs solutions est incomplète. En particulier, les solutions des équations de Navier-Stokes incluent souvent la turbulence, dont la solution générale reste lun des plus grands problèmes non résolus en physique, malgré son immense importance en science et en ingénierie.
Même les propriétés de base du les solutions à Navier – Stokes nont jamais été prouvées. Pour le système déquations tridimensionnel, et étant donné certaines conditions initiales, les mathématiciens nont pas encore prouvé que des solutions lisses existent toujours pour tous les temps. Cest ce quon appelle le problème dexistence et de régularité de Navier – Stokes.
Le problème est de progresser vers une théorie mathématique qui donnera un aperçu de ces équations, en prouvant soit quil existe des solutions lisses et définies globalement qui répondent à certaines conditions, ou quils nexistent pas toujours et les équations se décomposent.
La déclaration officielle du problème a été donnée par Charles Fefferman.
Birch et Swinnerton-Dyer conjectureEdit
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer traite de certains types déquations: celles définissant des courbes elliptiques sur les nombres rationnels. La conjecture est quil existe un moyen simple de dire si de telles équations ont un nombre fini ou infini de solutions rationnelles. Le dixième problème de Hilbert portait sur un type déquation plus général, et dans ce cas, il a été prouvé quil ny a aucun moyen de décider si une équation donnée a même des solutions.
Lénoncé officiel du problème a été donnée par Andrew Wiles.