Énergie cinétique des corps rigides
En mécanique classique, lénergie cinétique dun objet ponctuel (un objet si petit que sa masse peut être supposée exister à un point), ou un corps rigide non rotatif dépend de la masse du corps ainsi que de sa vitesse. Lénergie cinétique est égale à 1/2 du produit de la masse et du carré de la vitesse. Sous forme de formule:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
où m {\ displaystyle m} est la masse et v {\ displaystyle v} est la vitesse (ou la vitesse) du corps. En unités SI, la masse est mesurée en kilogrammes, la vitesse en mètres par seconde et lénergie cinétique résultante est en joules.
Par exemple, on calculerait lénergie cinétique dune masse de 80 kg (environ 180 livres ) se déplaçant à 18 mètres par seconde (environ 40 mph, ou 65 km / h) comme
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12 960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Quand une personne lance une balle, elle travaille dessus pour lui donner de la vitesse laisse la main. La balle en mouvement peut alors frapper quelque chose et la pousser, en travaillant sur ce quelle frappe. Lénergie cinétique dun objet en mouvement est égale au travail nécessaire pour lamener du repos à cette vitesse, ou au travail que lobjet peut effectuer en étant immobilisé: force nette × déplacement = énergie cinétique, cest-à-dire
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Puisque lénergie cinétique augmente avec le carré de la vitesse, un objet doublant sa vitesse a quatre fois autant dénergie cinétique. Par exemple, une voiture roulant deux fois plus vite quune autre nécessite quatre fois plus de distance pour sarrêter, en supposant une force de freinage constante. En conséquence de ce quadruplement, il faut quatre fois plus de travail pour doubler la vitesse.
Lénergie cinétique dun objet est liée à son élan par léquation:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
où:
p {\ displaystyle p \;} est lélan m {\ displaystyle m \;} est la masse du corps
Pour lénergie cinétique de translation, cest-à-dire lénergie cinétique associée au mouvement rectiligne, dun corps rigide de masse constante m {\ displaystyle m \;}, dont le centre de masse est se déplacer en ligne droite avec la vitesse v {\ displaystyle v \;}, comme vu ci-dessus est égal à
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
où:
m {\ displaystyle m \;} est la masse du corps v {\ displaystyle v \;} est la vitesse du centre de masse du corps.
Lénergie cinétique de toute entité dépend du référentiel dans lequel elle est mesurée. Cependant, lénergie totale dun système isolé, cest-à-dire dans lequel lénergie ne peut ni entrer ni sortir, ne change pas avec le temps dans le référentiel dans lequel elle est mesurée. Ainsi, lénergie chimique convertie en énergie cinétique par un moteur-fusée est répartie différemment entre la fusée et son flux déchappement en fonction du référentiel choisi. Cest ce quon appelle leffet Oberth. Mais lénergie totale du système, y compris lénergie cinétique, lénergie chimique du carburant, la chaleur, etc., est conservée dans le temps, quel que soit le choix du référentiel. Différents observateurs se déplaçant avec des référentiels différents seraient cependant en désaccord sur la valeur de cette énergie conservée.
Lénergie cinétique de tels systèmes dépend du choix du référentiel: le référentiel qui donne la valeur minimale de cette énergie est le centre de la trame de moment, cest-à-dire le cadre de référence dans lequel la quantité de mouvement totale du système est nulle. Cette énergie cinétique minimale contribue à la masse invariante du système dans son ensemble.
Dérivation
Le travail effectué pour accélérer une particule de masse m pendant lintervalle de temps infinitésimal dt est donné par le produit scalaire de la force F et du déplacement infinitésimal dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
où nous avons supposé la relation p = mv et la validité de la deuxième loi de Newton. ( Cependant, voir aussi la dérivation relativiste spéciale ci-dessous.)
En appliquant la règle du produit, nous voyons que:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Par conséquent, (en supposant tant que dm = 0), nous avons,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Comme il sagit dun différentiel total (cest-à-dire quil ne dépend que de létat final, pas de la manière dont la particule y est arrivée), nous pouvons lintégrer et appeler le résultat énergie cinétique. En supposant que lobjet était au repos au temps 0, nous intégrons du temps 0 au temps t car le travail effectué par la force pour amener lobjet du repos à la vitesse v est égal au travail nécessaire pour faire linverse:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Cette équation indique que lénergie cinétique (Ek) est égale à lintégrale du produit scalaire de la vitesse (v) dun corps et du changement infinitésimal du corps » s momentum (p). On suppose que le corps démarre sans énergie cinétique lorsquil est au repos (immobile).
Corps en rotation
Si un corps rigide Q tourne autour toute ligne passant par le centre de masse, alors elle a une énergie cinétique de rotation (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) qui est simplement la somme des énergies cinétiques de ses parties mobiles, et est donc donnée par :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
où:
(Dans cette équation, le moment dinertie doit être pris autour dun axe passant par le centre de masse et la rotation mesurée par ω doit être autour de cet axe; des équations plus générales existent pour les systèmes où lobjet est sujet à des oscillations en raison de sa forme excentrique).
Énergie cinétique des systèmes
Un système de corps peut avoir une énergie cinétique interne en raison de la mouvement relatif des corps dans le système. Par exemple, dans le système solaire, les planètes et les planétoïdes sont en orbite autour du Soleil. Dans un réservoir de gaz, les molécules se déplacent dans toutes les directions. Lénergie cinétique du système est la somme des énergies cinétiques des corps quil contient.
Un corps macroscopique qui est stationnaire (cest-à-dire quun cadre de référence a été choisi pour correspondre au centre délan du corps ) peuvent avoir divers types dénergie interne au niveau moléculaire ou atomique, qui peuvent être considérés comme de lénergie cinétique, en raison de la translation moléculaire, de la rotation et des vibrations, de la translation et du spin des électrons et du spin nucléaire. Ils contribuent tous au corps « s masse, telle que fournie par la théorie spéciale de la relativité. Lors de lexamen des mouvements dun corps macroscopique, lénergie cinétique à laquelle il est fait référence est généralement celle du mouvement macroscopique uniquement. Cependant, toutes les énergies internes de tous types contribuent à la masse, à linertie et à lénergie totale du corps.
Dynamique des fluides
En dynamique des fluides, lénergie cinétique par unité de volume à chaque point de un champ découlement de fluide incompressible est appelé la pression dynamique à ce point.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
En divisant par V, lunité de volume:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {aligné}}}
où q {\ displaystyle q} est la pression dynamique, et ρ est la densité du fluide incompressible.
Cadre de référence
La vitesse, et donc lénergie cinétique dun seul objet dépend du cadre (relatif ): il peut prendre nimporte quelle valeur non négative, en choisissant un référentiel inertiel approprié. Par exemple, une balle passant devant un observateur a une énergie cinétique dans le re cadre de référence de cet observateur. La même balle est stationnaire pour un observateur se déplaçant avec la même vitesse que la balle, et a donc une énergie cinétique nulle. En revanche, lénergie cinétique totale dun système dobjets ne peut être réduite à zéro par un choix approprié du référentiel inertiel, à moins que tous les objets aient la même vitesse. Dans tous les autres cas, lénergie cinétique totale a un minimum non nul, car aucun référentiel inertiel ne peut être choisi dans lequel tous les objets sont stationnaires. Cette énergie cinétique minimale contribue à la masse invariante du système, qui est indépendante du référentiel.
Lénergie cinétique totale dun système dépend du référentiel inertiel: cest la somme du total lénergie cinétique dans un cadre de centre de moment et lénergie cinétique que la masse totale aurait si elle était concentrée dans le centre de masse.
Cela peut être simplement montré: let V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} est la vitesse relative du centre de gravité du repère i dans le repère k.Puisque
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Alors,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Ainsi lénergie cinétique dun système est la plus basse au centre de la référence de moment des cadres, cest-à-dire des cadres de référence dans lesquels le centre de gravité est stationnaire (soit le centre du cadre de masse, soit tout autre centre du cadre de moment). Dans tout référentiel différent, il existe une énergie cinétique supplémentaire correspondant à la masse totale se déplaçant à la vitesse du centre de masse. Lénergie cinétique du système au centre de la trame de moment est une grandeur invariante (tous les observateurs la considèrent comme la même).
Rotation dans les systèmes
Cest parfois pratique pour diviser lénergie cinétique totale dun corps en la somme de lénergie cinétique de translation du centre de masse du corps et de lénergie de rotation autour du centre de masse (énergie de rotation):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
où:
Ek est lénergie cinétique totale Et est lénergie cinétique de translation Er est lénergie de rotation ou énergie cinétique angulaire dans le cadre de repos
Ainsi lénergie cinétique dune balle de tennis en vol est lénergie cinétique due à sa rotation, plus lénergie cinétique due à sa translation.