PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
La caractérisation de Feller de la distribution de Poisson composée indique quun entier non négatif valorisé rv X {\ displaystyle X} est infiniment divisible si et seulement si sa distribution est une distribution de Poisson composée discrète. On peut montrer que la distribution binomiale négative est discrète infiniment divisible, cest-à-dire si X a une distribution binomiale négative, alors pour tout entier positif n, il existe des variables aléatoires discrètes iid X1, …, Xn dont la somme a la même distribution que X. La distribution géométrique de décalage est discrète distribution de Poisson composée si nce cest un cas trivial de distribution binomiale négative.
Cette distribution peut modéliser des arrivées par lots (comme dans une file dattente en masse). La distribution de Poisson composée discrète est également largement utilisée en actuariat pour modéliser la distribution du montant total de la demande.
Lorsque certains α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} ne sont pas négatifs, il est la distribution de Poisson pseudo composée discrète. Nous définissons que toute variable aléatoire discrète Y {\ displaystyle Y} satisfaisant la caractérisation de la fonction génératrice de probabilité
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle G_ {Y} (z) = \ somme \ limites _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}