Appliquée à un polygone, une diagonale est un segment de ligne joignant deux sommets non consécutifs. Par conséquent, un quadrilatère a deux diagonales, joignant des paires opposées de sommets. Pour tout polygone convexe, toutes les diagonales sont à lintérieur du polygone, mais pour les polygones rentrants, certaines diagonales sont à lextérieur du polygone.
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| Côtés | Diagonales | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Régions formées par diagonalsEdit
Dans un polygone convexe , si trois diagonales ne sont pas concurrentes en un seul point de lintérieur, le nombre de régions en lesquelles les diagonales divisent lintérieur est donné par
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Pour les n-gons avec n = 3, 4, … le nombre de régions est
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Ceci est la séquence OEIS A006522.
Intersections de diagonalesEdit
Si trois diagonales dun polygone convexe ne sont pas concurrentes en un point à lintérieur, le nombre de les intersections de diagonales sont données par (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Cela vaut, par exemple, pour tout polygone régulier avec un nombre impair de côtés. La formule découle du fait que chaque intersection est uniquement déterminée par les quatre extrémités des deux diagonales qui se croisent: le nombre dintersections est donc le nombre de combinaisons des n sommets quatre à la fois.
Polygones réguliers
Un triangle na pas de diagonales.
Un hexagone régulier a neuf diagonales: les six plus courtes sont égales en longueur; les trois plus longs sont égaux en longueur et se coupent au centre de lhexagone. Le rapport dune longue diagonale à un côté est de 2, et le rapport dune courte diagonale à un côté est de 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Un heptagone régulier a 14 diagonales. Les sept plus courts ségalisent et les sept plus longs ségalent. La réciproque du côté est égale à la somme des réciproques dune diagonale courte et longue.
Dans tout n-gon régulier avec n pair, les longues diagonales se coupent toutes au centre du polygone.