Basic definitionEdit
La fonction f peut être réinterprétée comme une famille de fonctions dune variable indexée par les autres variables:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
En dautres termes, chaque valeur de y définit une fonction, notée fy , qui est fonction dune variable x. Autrement dit,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Dans cette section, la notation en indice fy désigne une fonction dépendante dune valeur fixe de y, et non a dérivée partielle.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
Dans cette expression, a est une constante, pas une variable, donc fa est une fonction dune seule variable réelle, cest-à-dire x. Par conséquent, la définition de la dérivée pour une fonction dune variable sapplique:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} « (x) = 2x + a.}
La procédure ci-dessus peut être effectuée pour nimporte quel choix de a. Assembler les dérivées ensemble dans une fonction donne une fonction qui décrit la variation de f dans le direction x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Il sagit de la dérivée partielle de f par rapport à x. Ici ∂ est un arrondi d appelé symbole de dérivée partielle. Pour le distinguer de la lettre d, ∂ se prononce parfois « partiel ».
En général, la dérivée partielle dune fonction n-aire f (x1, …, xn) dans la direction xi au point (a1, …, an) est définie comme étant:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
Dans le quotient de différence ci-dessus, toutes les variables sauf x je suis maintenu fixe. Ce choix de valeurs fixes détermine une fonction dune variable
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
et par définition,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,… etxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
En dautres termes, les différents choix dun index une famille de fonctions à une variable comme dans lexemple ci-dessus. Cette expression montre aussi que le calcul des dérivées partielles se réduit au calcul des dérivées à une variable.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
Ce vecteur est appelé le gradient de f en a. Si f est différentiable en tout point dans un domaine, alors le gradient est une fonction vectorielle ∇f qui prend le point a vers le vecteur ∇f (a). Par conséquent, le dégradé produit un champ vectoriel.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Définition formelleModifier
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {aligné}} }
Même si toutes les dérivées partielles ∂f / ∂xi (a) existent en un point a donné, le il nest pas nécessaire que la fonction y soit continue. Cependant, si toutes les dérivées partielles existent dans un voisinage de a et y sont continues, alors f est totalement dérivable dans ce voisinage et la dérivée totale est continue. Dans ce cas, on dit que f est une fonction C1. Ceci peut être utilisé pour généraliser pour les fonctions à valeurs vectorielles, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} en utilisant soigneusement un argument par composant.
La dérivée partielle ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} peut être vue comme une autre fonction définie sur U et peut à nouveau être partiellement différenciée. Si toutes les dérivées partielles mixtes du second ordre sont continues en un point (ou sur un ensemble), f est appelée une fonction C2 en ce point (ou sur cet ensemble); dans ce cas, les dérivées partielles peuvent être échangées par le théorème de Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}.}