Lapothème a peut être utilisé pour trouver laire de tout polygone régulier à n côtés de longueur de côté s selon la formule suivante, qui indique également que laire est égale à lapothème multiplié de la moitié du périmètre puisque ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Cette formule peut être dérivée en partitionnant le polygone à n côtés en n triangles isocèles congruents, et puis en notant que lapothème est la hauteur de chaque triangle, et que laire dun triangle est égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur. Les formulations suivantes sont toutes équivalentes:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Un apothème dun polygone régulier sera toujours un rayon du cercle inscrit. Cest aussi la distance minimale entre nimporte quel côté du polygone et son centre.
Cette propriété peut également être utilisée pour dériver facilement la formule de laire dun cercle, car à mesure que le nombre de côtés sapproche de linfini, laire du polygone régulier sapproche de laire du cercle inscrit de rayon r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}