Chaque fois que nous parlons de géométrie, nous parlons de longueurs de côté, dangles et de surfaces des formes. Nous avons vu les deux autres avant, parlons de ce dernier. Vous devez voir autant de questions dans lexamen de mathématiques concernant la recherche de laire de la région ombrée dun polygone particulier.
Pour cela, vous devez avoir la connaissance des formules daire pour différents types de polygones.
Dans cet article, vous apprendrez:
- Quentend-on par aire dun polygone?
- Comment trouver laire dun polygone, y compris aire dun polygone régulier et irrégulier?
Quelle est laire dun polygone?
En géométrie, laire est définie comme la région occupée à lintérieur de la limite dun deux- figure dimensionnelle. Par conséquent, laire dun polygone est lespace total ou la région délimitée par les côtés dun polygone.
Les unités standard pour la mesure de laire sont les mètres carrés (m2).
Comment trouver laire dun polygone?
Les polygones réguliers tels que les rectangles, les carrés, les trapèzes, les parallélogrammes etc. ont des formules prédéfinies pour calculer leurs aires.
Cependant, pour un polygone irrégulier, laire est calculée en subdivisant un polygone irrégulier en petites sections de polygones réguliers.
Aire dun polygone régulier
Le calcul de laire dun polygone régulier peut être aussi simple que trouver laire dun triangle régulier. Les polygones réguliers ont des longueurs de côté égales et une mesure égale des angles.
Il existe trois méthodes de calcul de laire dun polygone régulier. Chaque méthode est utilisée à différentes occasions.
Aire dun polygone utilisant le concept dapothème
Laire dun polygone régulier peut être calculée en utilisant le concept dapothème. L’apothème est un segment de ligne qui relie le centre du polygone au milieu de n’importe quel côté perpendiculaire à ce côté. Par conséquent, laire dun polygone régulier est donnée par;
A = 1/2. p. a
où p = le périmètre du polygone = somme de toutes les longueurs de côté dun polygone.
a = apothème.
Considérons un pentagone illustré ci-dessous ;
Si lapothème, a = x et la longueur de chaque côté du pentagone est s, alors laire de le pentagone est donné par;
Area = 1/2. p. a
Périmètre = s + s + s + s + s
= 5s
Donc, substitution,
Area = (½ ) 5sx
= (5/2) (s. X) Sq. unités
Lors de lutilisation de la méthode apothème, la longueur de lapothème sera toujours fournie.
Aire dun polygone en utilisant la formule: A = (L2 n) /
Alternativement, laire du polygone daire peut être calculée à laide de la formule suivante:
A = (L2 n) /
Où, A = aire du polygone,
L = Longueur du côté
n = Nombre de côtés du polygone donné.
Aire dun polygone circonscrit
Laire de un polygone circonscrit dans un cercle est donné par,
A = unités carrées.
Où, n = nombre de côtés.
L = longueur de côté dun polygone
R = Rayon du cercle circonscrit.
Élaborons quelques exemples de problèmes concernant laire dun polygone régulier.
Exemple 1
Trouvez laire dun hexagone régulier dont chacun des côtés mesure 6 m.
Solution
Pour un hexagone, le nombre de côtés, n = 6
L = 6 m
A = (L2n) /
Par substitution,
A = (62 6) /
= (36 * 6) /
= 216 /
= 216 / 2,3 094
A = 93,53 m2
Exemple 2
Trouvez laire dun hexagone régulier dont lapothème mesure 10√3 cm et la longueur des côtés est de 20 cm chacun .
Solution
Area = ½ pa
Premièrement, trouvez le périmètre de lhexagone.
p = (20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20) cm = (20 cm * 6)
= 120 cm
Remplaçant.
Superficie = ½ pa
= ½ * 120 * 10√3
= 600√3 cm2
Exemple 3
Trouver laire dun pentagone régulier, si la longueur du polygone est de 8 m et le rayon du cercle circonscrit est de 7 m.
Solution
A = unités carrées.
Où, n = 5; L = 8 m et R = 7 m.
Par substitution,
A = m2
=
= 20√ (49 – 16)
= 20√33 m2
= 20 * 5,745 m2
= 114,89 m2
Exemple 4
Trouvez laire dun pentagone régulier dont lapothème et la longueur des côtés sont respectivement de 15 cm et 18 cm.
Solution
Aire = ½ pa
a = 15cm
p = (18 * 5) = 90 cm
A = (½ * 90 * 15) cm
= 675 cm.
Aire de polygone irrégulier
Un polygone irrégulier est un polygone avec des angles intérieurs de mesure différente. Les longueurs des côtés dun polygone irrégulier sont également de mesure différente.
Comme dit précédemment, laire dun polygone irrégulier peut être calculée en subdivisant un polygone irrégulier en petites sections de polygones réguliers.
Exemple 5
Trouvez laire dun polygone irrégulier ci-dessous si, AB = ED = 20 cm, BC = CD = 5cm et AB = BD = 8 cm
Solution
Subdivisez le polygone irrégulier en sections de polygones réguliers
Par conséquent, ABED est un rectangle et BDC est un triangle.
Aire du rectangle = l * w