PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ summa \ rajoitukset _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ vasen (\ summa \ rajoitukset _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ oikea), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellerin yhdistetyn Poisson-jakauman kuvauksessa todetaan, että ei-negatiivinen kokonaisluku, jonka arvo on rv X {\ displaystyle X}, on äärettömän jaollinen vain ja vain, jos sen jakauma on erillinen yhdistetty Poisson-jakauma. Voidaan osoittaa, että negatiivinen binomijakauma on diskreetti äärettömän jaollinen, ts. jos X: llä on negatiivinen binomijakauma, niin positiiviselle kokonaisluvulle n on olemassa erillisiä iid-satunnaismuuttujia X1, …, Xn, joiden summalla on sama jakauma kuin X: llä. yhdistetty Poisson-jakauma si Koska kyseessä on triviaali negatiivisen binomijakauman tapaus.
Tämä jakelu voi mallintaa eräsaapumisia (kuten joukkojonossa). Diskreettiyhdistelmä Poisson-jakaumaa käytetään laajalti vakuutusmatemaattisessa tieteessä myös vaatimuksen kokonaismäärän jakauman mallinnuksessa.
Kun jotkut α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} eivät ole negatiivisia, on erillinen pseudoyhdisteen Poisson-jakauma. Määritämme, että mikä tahansa diskreetti satunnaismuuttuja Y {\ displaystyle Y}, joka täyttää todennäköisyyttä generoivan funktion karakterisoinnin
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ summa \ rajoitukset _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}