Basic definitionEdit
Funktio f voidaan tulkita uudelleen yhden muuttujan funktioperheeksi, jonka muut muuttujat indeksoivat:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Toisin sanoen jokainen y: n arvo määrittää funktion, jota merkitään fy , joka on yhden muuttujan x funktio. Eli
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Tässä osassa alaindeksin merkintä fy tarkoittaa funktiota, joka on ehdollinen kiinteään arvoon y eikä osittainen johdannainen.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
Tässä lausekkeessa a on vakio, ei muuttuja, joten fa on vain yhden funktio todellinen muuttuja, joka on x. Näin ollen yhden muuttujan funktion derivaatan määritelmä pätee:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} ”(x) = 2x + a.}
Yllä oleva toimenpide voidaan suorittaa mille tahansa a-valinnalle. Johdannaisten kokoaminen yhteen funktioksi antaa funktion, joka kuvaa f: n vaihtelua x suunta:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x}} (x, y) = 2x + y.}
Tämä on f: n osittainen johdannainen x: n suhteen. Tässä ∂ on pyöristetty d, jota kutsutaan osittaiseksi derivaattosymboliksi. Sen erottamiseksi kirjaimesta d sometimes lausutaan joskus ”osittaiseksi”.
Yleensä n-ary-funktion f (x1, …, xn) osittainen derivaatti suunnassa xi pisteessä (a1, …, an) määritellään olevan:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partitu f} {\ osio x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ – 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ pisteet, a_ {n})} {h}}.}
Yllä olevassa erotussuhteessa kaikki muuttujat paitsi x minua pidetään kiinteänä. Tämä kiinteiden arvojen valinta määrittää yhden muuttujan funktion
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
ja määritelmän mukaan
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, jaxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ osa f} {\ osittain x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Toisin sanoen hakemiston eri vaihtoehdot yhden muuttujan perhe toimii aivan kuten yllä olevassa esimerkissä. Tämä lauseke osoittaa myös, että osittaisten johdannaisten laskeminen pelkistyy yhden muuttujan johdannaisten laskemiseen.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ vasen ({\ frac {\ partis f} {\ ositettu x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ osallinen f} {\ osallinen x_ { n}}} (a) \ oikea).}
Tätä vektoria kutsutaan f: n gradientiksi a: ssa. Jos f on erotettavissa jokaisen alueen jokaisessa kohdassa, niin gradientti on vektoriarvoinen funktio ∇f, joka vie pisteen a vektoriin ∇f (a). Siksi kaltevuus tuottaa vektorikentän.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ vasen {\ hattu {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ summa _ {j = 1} ^ {n} \ vasen {\ hattu {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ vasen {\ hattu {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ vasen {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Muodollinen määritelmäMuokkaa
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ alkaa {tasattu} {\ frac {\ osallinen} {\ osittain x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ piste, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ – 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ loppu {tasattu}} }
Vaikka kaikki osittaiset johdannaiset ∂f / ∂xi (a) olisivat tietyssä kohdassa a, toiminnon ei tarvitse olla jatkuvaa siellä. Kuitenkin, jos kaikki osittaiset johdannaiset esiintyvät a: n naapurustossa ja ovat siellä jatkuvia, niin f on täysin erilainen tässä naapurustossa ja kokonaisjohdannainen on jatkuva. Tässä tapauksessa sanotaan, että f on C1-funktio. Tätä voidaan käyttää yleistämään vektoriarvotut funktiot, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} käyttämällä varovasti komponenttiargumenttia.
Osittainen johdannainen ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partitali f} {\ partituali}} voidaan nähdä toisena funktiona, joka on määritelty U: lla, ja se voidaan jälleen erottaa osittain. Jos kaikki sekoitetut toisen asteen osittaiset johdannaiset ovat jatkuvia pisteessä (tai joukossa), f: ää kutsutaan C2-funktioksi siinä kohdassa (tai siinä joukossa); tässä tapauksessa osittaiset johdannaiset voidaan vaihtaa Clairautin lauseella:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partisaalinen ^ {2} f} {\ osallinen x_ {i} \ osallinen x_ {j}}} = {\ frac {\ osallinen ^ {2} f} {\ osallinen x_ {j} \ osittainen x_ {i}}}.}