P vs. NPEdit
Kysymys kuuluu kaikille ongelmille, joita algoritmi voi tarkistaa tietyn ratkaisun nopeasti (ts. polynomiajassa), algoritmi voi myös löytää ratkaisun nopeasti. Koska ensimmäinen kuvaa ongelmaluokkaa, jota kutsutaan NP: ksi, kun taas jälkimmäinen kuvaa P: tä, kysymys vastaa kysymystä, ovatko kaikki NP: n ongelmat myös P: ssä. Tätä pidetään yleensä yhtenä tärkeimmistä avoimista kysymyksistä matematiikassa ja teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä sillä sillä on kauaskantoisia seurauksia muille matematiikan ongelmille sekä biologialle, filosofialle ja salaukselle (katso P vs. NP ongelman todistavat seuraukset). Yleinen esimerkki NP-ongelmasta, jonka ei tiedetä olevan P: ssä, on Boolen tyydyttävyysongelma.
Useimmat matemaatikot ja tietojenkäsittelijät odottavat, että P ≠ NP; se on kuitenkin todistamaton.
Virallisen lausunnon ongelmasta antoi Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
Hodge-arvelu on, että projektiivisten algebrallisten lajikkeiden Hodge-syklit ovat järkeviä lineaarisia yhdistelmiä algebrallisista sykleistä.
Virallisen lausunnon ongelmasta antoi Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Riemannin hypoteesi on, että kaikilla Riemannin zeta-funktion analyyttisen jatkeen nolla-nollilla on todellinen osa 1/2. Tämän todistamisella tai epävarmuudella olisi kauaskantoisia vaikutuksia lukuteoriassa, erityisesti alkulukujen jakautumiseen. Tämä oli Hilbertin kahdeksas ongelma, ja sitä pidetään edelleen tärkeänä avoimena ongelmana vuosisataa myöhemmin.
Virallisen lausunnon ongelmasta antoi Enrico Bombieri.
Yang – Millsin olemassaolo ja massaväliEdit
Fysiikassa klassinen Yang – Mills-teoria on yleistys Maxwellin sähkömagnetisiteoriasta, jossa kromisähkömagneettinen kenttä Klassisena kenttateoriana sillä on ratkaisuja, jotka kulkevat valon nopeudella niin, että kvanttiversiossaan tulisi kuvata massattomia hiukkasia (gluoneja). Väitetyssä sulkeutumisilmiössä kuitenkin sallitaan vain sitoutuneiden gluonien tilat, jotka muodostavat massiivisia hiukkasia Tämä on massavaje. Toinen sulkeutumisen näkökohta on asymptoottinen vapaus, joka tekee mahdolliseksi, että kvantti-Yang-Mills-teoria on olemassa ilman rajoituksia matalan energian asteikkoihin. Ongelmana on vahvistaa tiukasti kvantti-Yang-Mills-teoria ja massaero.
Virallisen lausunnon ongelmasta antoivat Arthur Jaffe ja Edward Witten.
Navier – Stokesin olemassaolo ja tasaisuusEdit
Navier – Stokes-yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä ja ovat yksi nestemekaniikan pilareista. Teoreettinen ymmärrys niiden ratkaisuista on kuitenkin puutteellista. Erityisesti Navier – Stokes-yhtälöiden ratkaisuihin sisältyy usein turbulenssi, jonka yleinen ratkaisu on edelleen yksi suurimmista fysiikan ongelmista huolimatta sen valtavasta merkityksestä tieteessä ja tekniikassa.
Jopa perusominaisuudet ratkaisuja Navier – Stokesiin ei ole koskaan osoitettu. Kolmiulotteiselle yhtälöjärjestelmälle matemaatikot eivät ole vielä osoittaneet, että joillakin alkuolosuhteilla on aina sujuvia ratkaisuja koko ajan. Tätä kutsutaan Navier – Stokesin olemassaolo- ja sileysongelmaksi.
Ongelmana on edetä kohti matemaattista teoriaa, joka antaa käsityksen näistä yhtälöistä, todistamalla joko, että on olemassa sujuvia, globaalisti määriteltyjä ratkaisuja, jotka täyttävät tietyt tietyt ehtoja tai että niitä ei aina ole ja yhtälöt hajoavat.
Virallisen lausunnon ongelmasta antoi Charles Fefferman.
Koivu ja Swinnerton-Dyer -oletusEdit
Birch- ja Swinnerton-Dyer-oletus käsittelevät tietyntyyppisiä yhtälöitä: ne, jotka määrittelevät elliptiset käyrät rationaalilukujen yli. Oletuksen mukaan on olemassa yksinkertainen tapa kertoa, onko tällaisilla yhtälöillä rajallinen vai ääretön määrä järkeviä ratkaisuja. Hilbertin kymmenes ongelma käsitteli yleisempää yhtälötyyppiä, ja siinä tapauksessa osoittautui, ettei ole mitään tapaa päättää, onko tietyllä yhtälöllä edes ratkaisuja.
Tehtävän virallinen lausunto antoi Andrew Wiles.