jäykkien kappaleiden kineettinen energia
Klassisessa mekaniikassa pisteobjektin (niin pieni objekti, että sen massan voidaan olettaa olevan olemassa) kineettinen energia tai pyörimätön jäykkä runko riippuu rungon massasta ja sen nopeudesta. Kineettinen energia on yhtä suuri kuin 1/2 massan ja nopeuden neliön tulo. Kaavamuodossa:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
missä m {\ displaystyle m} on massa ja v {\ displaystyle v} on rungon nopeus (tai nopeus). SI-yksiköissä massa mitataan kilogrammoina, nopeus metreinä sekunnissa, ja tuloksena oleva kineettinen energia on joulea.
Esimerkiksi laskettaisiin 80 kg: n massan (noin 180 paunaa) liike-energia. ) kulkee 18 metriä sekunnissa (noin 40 mph tai 65 km / h) kuten
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12 960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Kun henkilö heittää pallon, hän työskentelee sen parissa saadakseen sille nopeuden jättää käden. Liikkuva pallo voi sitten lyödä jotain ja työntää sitä, tekemällä työtä siitä, mitä se osuu. Liikkuvan kohteen kineettinen energia on yhtä suuri kuin työ, joka vaaditaan sen tuomiseksi leposta kyseiseen nopeuteen, tai työ, jonka esine voi tehdä lepotilaan saattamisen yhteydessä: nettovoima × siirtymä = kineettinen energia, ts.
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Koska kineettinen energia kasvaa nopeuden neliön kanssa, objektin, joka kaksinkertaistaa sen nopeuden, on neljä kertaa niin paljon kineettistä energiaa. Esimerkiksi auto, joka kulkee kaksi kertaa nopeammin kuin toinen, vaatii neljä kertaa enemmän matkaa pysähtymiseen olettaen, että jarrutusvoima on vakio. Tämän nelinkertaistumisen seurauksena nopeuden kaksinkertaistaminen vie neljä kertaa työtä.
Kohteen kineettinen energia liittyy sen liikemäärään yhtälöllä:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
missä:
p {\ displaystyle p \;} on vauhtia m {\ displaystyle m \;} on ruumiin massa
Kääntyvän kineettisen energian eli suorasuoraan liikkeeseen liittyvän kineettisen energian osalta jäykän rungon, jonka massa on vakio m {\ displaystyle m \;}, jonka painopiste on siirtyminen suoralla nopeudella v {\ displaystyle v \;}, kuten edellä on esitetty, on yhtä suuri kuin
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
missä:
m {\ displaystyle m \;} on rungon massa v {\ displaystyle v \;} on massakeskipisteen nopeus kehosta.
minkä tahansa yksikön kineettinen energia riippuu vertailukehyksestä, jossa se mitataan. Eristetyn järjestelmän kokonaisenergia, ts. Sellainen, johon energia ei voi päästä eikä poistua, ei kuitenkaan muutu ajan mittaan vertailukehyksessä, jossa se mitataan. Siten kemiallinen energia, joka rakettimoottorilla muunnetaan kineettiseksi energiaksi, jaetaan rakettialuksen ja sen pakokaasuvirran välillä eri tavalla valitun vertailukehyksen mukaan. Tätä kutsutaan Oberth-efektiksi. Mutta järjestelmän kokonaisenergia, mukaan lukien kineettinen energia, polttoaine-kemiallinen energia, lämpö jne., Säilytetään ajan myötä riippumatta vertailukehyksen valinnasta. Eri tarkkailijat, jotka liikkuvat eri viitekehyksillä, eivät kuitenkaan ole samaa mieltä tämän säilyneen energian arvosta.
Tällaisten järjestelmien kineettinen energia riippuu vertailukehyksen valinnasta: vertailukehys, joka antaa energian vähimmäisarvon on liikekehyksen keskipiste, ts. vertailukehys, jossa järjestelmän kokonaismomentti on nolla. Tämä pienin kineettinen energia vaikuttaa koko järjestelmän muuttumattomaan massaan.
Johdanto
Työn, joka suoritetaan hiukkasen kiihdyttämisessä massalla m äärettömän pienellä aikavälillä dt, antaa voiman F pistetulo ja äärettömän pieni siirtymä dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
jossa oletetaan olevan suhde p = mv ja Newtonin toisen lain pätevyys. ( Katso kuitenkin myös alla oleva erityinen relativistinen johdannainen.)
Tuotesääntöä sovellettaessa näemme, että:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Siksi (olettaen haitat tantti massa niin, että dm = 0), meillä on,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ vasen ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ oikea).}
Koska tämä on kokonaisero (eli se riippuu vain lopputilasta, ei siitä, miten hiukkanen pääsi sinne), voimme integroida sen ja kutsua tulosta kineettiseksi energiaksi. Olettaen, että esine oli levossa ajankohtana 0, integroidaan aika 0: sta ajan t, koska voiman tekemä työ objektin levittämiseksi lepotilasta nopeuteen v on yhtä suuri kuin päinvastaisen toiminnan edellyttämä työ:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ vasen ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ oikea) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Tässä yhtälössä todetaan, että kineettinen energia (Ek) on yhtä suuri kuin ruumiin nopeuden (v) ja kehon äärettömän pienen muutoksen pistetulon integraali ” s liikemäärä (p). Oletetaan, että kehossa ei ole liike-energiaa, kun se on levossa (liikkumaton).
Pyörivät kappaleet
Jos jäykkä runko Q pyörii noin millä tahansa massakeskipisteen läpi kulkevalla viivalla on sitten kiertokineettinen energia (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}), joka on yksinkertaisesti sen liikkuvien osien kineettisten energioiden summa, ja sen antaa siten :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ teksti {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
missä:
(Tässä yhtälössä hitausmomentti on otettava massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri ja pyörimissuunta mitattava ω: lla on oltava kyseisen akselin ympäri; yleisempiä yhtälöitä on olemassa systeemeille, joissa esine heiluu epäkeskomuodonsa vuoksi).
Systeemien kineettinen energia
Runkojärjestelmällä voi olla sisäinen kineettinen energia elinten suhteellinen liike järjestelmässä. Esimerkiksi aurinkokunnassa planeetat ja planetoidit kiertävät aurinkoa. Kaasusäiliössä molekyylit liikkuvat kaikkiin suuntiin. Järjestelmän kineettinen energia on sen sisältämien kappaleiden kineettisten energioiden summa.
Makroskooppinen runko, joka on paikallaan (ts. Vertailukehys on valittu vastaamaan kehon liikekeskipistettä) ) voi olla monenlaista sisäistä energiaa molekyylitasolla tai atomitasolla, jota voidaan pitää kineettisenä energiana molekyylitranslaation, pyörimisen ja värähtelyn, elektronien translaation ja spinin sekä ydin spinin vuoksi. Nämä kaikki vaikuttavat kehon massa, kuten erityinen suhteellisuusteoria tarjoaa. Kun keskustellaan makroskooppisen kappaleen liikkeistä, tarkoitettu kineettinen energia on yleensä vain makroskooppisen liikkeen oma. Kuitenkin kaikki kaikentyyppiset sisäiset energiat vaikuttavat kehon massaan, hitauteen ja kokonaisenergiaan.
Nestedynamiikka
Nestedynamiikassa kineettinen energia tilavuusyksikköä kohti jokaisessa pisteessä puristamatonta nestevirtauskenttää kutsutaan dynaamiseksi paineeksi siinä kohdassa.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Jakamalla V: llä, äänenvoimakkuuden yksikkö:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {tasattu}}}
missä q {\ displaystyle q} on dynaaminen paine ja ρ on puristamattoman nesteen tiheys.
Viitekehys
Yksittäisen kohteen nopeus ja siten kineettinen energia riippuu kehyksestä (suhteellinen ): se voi saada minkä tahansa ei-negatiivisen arvon valitsemalla sopivan inertiaalisen viitekehyksen. Esimerkiksi tarkkailijan ohi kulkevalla luodilla on kineettinen energia tämän tarkkailijan kehys. Sama luoti on paikallaan tarkkailijalla, joka liikkuu samalla nopeudella kuin luoti, ja sillä on siten nolla kineettistä energiaa. Sitä vastoin objektijärjestelmän kokonaiskineettistä energiaa ei voida pienentää nollaan sopivalla inertiaalisen vertailukehyksen valinnalla, ellei kaikilla kohteilla ole sama nopeus. Kaikissa muissa tapauksissa kineettisellä kokonaisenergialla on nollasta poikkeava minimi, koska ei voida valita mitään inertiaalista vertailukehystä, jossa kaikki kohteet olisivat paikallaan. Tämä minimaalinen kineettinen energia vaikuttaa järjestelmän muuttamattomaan massaan, joka on riippumaton vertailukehyksestä.
Järjestelmän kokonaiskineettinen energia riippuu inertiaalisesta vertailukehyksestä: se on kokonaissumman summa. kineettinen energia impulssikehyksen keskellä ja kineettinen energia, jonka kokonaismassalla olisi, jos se keskittyisi massakeskipisteeseen.
Tämä voidaan yksinkertaisesti näyttää: olkoon V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} on massakehyksen i keskipisteen suhteellinen nopeus kehyksessä k.Koska
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ vasen (v_ {i} + V \ oikea) ^ {2} = \ vasen (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ oikea) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Sitten
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Siten järjestelmän kineettinen energia on matalin momentin keskipisteeseen nähden kehykset, ts. viitekehykset, joissa massan keskusta on paikallaan (joko massakehyksen tai minkä tahansa muun liikekehyksen keskipisteen). Missä tahansa eri vertailukehyksessä on ylimääräistä kineettistä energiaa, joka vastaa massakeskipisteen nopeudella liikkuvaa kokonaismassaa. Järjestelmän kineettinen energia impulssikehyksen keskellä on invariantti määrä (kaikki tarkkailijat näkevät sen olevan sama).
Kierto järjestelmissä
Se on joskus kätevää jakaa ruumiin kineettinen kokonaisenergia kappaleen massakeskipisteen translaatiokineettisen energian ja massakeskipisteen (pyörimisenergian) ympärillä olevan pyörimisenergian summaksi:
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
jossa:
Ek on kineettinen kokonaisenergia Et on translaation kineettinen energia Er on pyörimisenergia tai kulmainen kineettinen energia lepokehyksessä
Tennispallon kineettinen energia lennon aikana on siis sen kiertymisestä johtuva kineettinen energia sekä sen kääntymisestä johtuva kineettinen energia.