Eksponentiaalijakauma

Keskiarvo, varianssi, momentit ja mediaanimuokkaus

Eksponentiaalisesti jakautuneen satunnaismuuttujan X keskiarvo tai odotettu arvo nopeusparametrilla λ saadaan arvolla

E ⁡ = 1 λ. {\ displaystyle \ operaattorin nimi {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

Alla olevien esimerkkien valossa on järkevää: jos vastaanotat puheluja keskimäärin 2 tunnissa , niin voit odottaa odottavan puoli tuntia jokaista puhelua varten.

X: n varianssin antaa

Var ⁡ = 1 λ 2, {\ displaystyle \ operaattorin nimi {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}},}

joten keskihajonta on yhtä suuri kuin keskiarvo.

X: n momentit, kun n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} antaa

E ⁡ = n! λ n. {\ displaystyle \ operaattorinimi {E} \ left = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}}.}

X: n keskeiset hetket, kun n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} antaa

μ n =! n λ n = n! λ n ∑ k = 0 n (- 1) k k! . {\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {! n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}} \ summa _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}

missä! n on n: n osa-alue.

X: n mediaanin antaa

m ⁡ = ln ⁡ (2) λ < E ⁡, {\ displaystyle \ operaattorin nimi {m} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda }} < \ operaattorin nimi {E},}

missä ln viittaa luonnolliseen logaritmiin. Siten keskiarvon ja mediaanin absoluuttinen ero on

| E ⁡ – m ⁡ | = 1 – ln ⁡ (2) λ < 1 λ = σ ⁡, {\ displaystyle \ left | \ operaattorin nimi {E} \ left- \ operaattorin nimi {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln (2)} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operaattorin nimi {\ sigma}, }

mediaanikeskiarvoisen eriarvoisuuden mukaisesti.

MemorylessnessEdit

Eksponentiaalisesti jakautunut satunnaismuuttuja T noudattaa suhdetta

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > t), ∀ s, t ≥ 0 . {\ displaystyle \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) = \ Pr (T > t), \ qquad \ kaikki s, t \ geq 0.}

Tämä näkyy tarkastelemalla täydentävää kumulatiivista jakautumistoimintoa:

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > s + t ∩ T > s) Pr (T > s) = Pr (T s + t) Pr (T > s) = e – λ (s + t) e – λ s = e – λ t = Pr (T > t). {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ oikea) & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ cap T > s \ oikea)} {\ Pr \ vasen (T > s \ oikea)}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ vasen (T > s + t \ oikea)} {\ Pr \ vasen (T > s \ oikea)} } \\ & = {\ frac {e ^ {- \ lambda (s + t)}} {e ^ {- \ lambda s}}} \\ & = e ^ {- \ lambda t} \\ & = \ Pr (T > t) . \ end {kohdistettu}}}

Kun T tulkitaan tapahtuman odotusajaksi suhteessa johonkin alkuaikaan, tämä suhde tarkoittaa, että jos T: n ehtona on tapahtuman havaitsemisen laiminlyönti jollakin alkujaksolla ajan s, jäljellä olevan odotusajan jakauma on sama kuin alkuperäinen ehdollinen jakauma. Esimerkiksi, jos tapahtumaa ei ole tapahtunut 30 sekunnin kuluttua, ehdollinen todennäköisyys, että tapahtuma kestää vielä vähintään 10 sekuntia, on yhtä suuri kuin ehdoton todennäköisyys havaita tapahtuma yli 10 sekuntia alkuperäisen ajan jälkeen.

Eksponenttijakauma ja geometrinen jakauma ovat ainoat muistittomat todennäköisyysjakaumat.

Eksponentiaalijakauma on siten välttämättä myös ainoa jatkuva todennäköisyysjakauma, jolla on vakio vikaantumisaste.

QuantilesEdit

Exp: n (λ) kvantiilitoiminto (käänteinen kumulatiivinen jakaumafunktio) on

F – 1 (p; λ) = – ln ⁡ (1 – p ) λ, 0 ≤ p < 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \ qquad 0 \ leq p < 1}

Kvartilit ovat siis:

• ensimmäinen kvartiili: ln (4/3 ) / λ
• mediaani: ln (2) / λ
• kolmas kvartiili: ln (4) / λ

Ja seurauksena kvartiilien välinen alue on ln (3) / λ.

Kullback – Leibler-divergenssi Muokkaa

Δ (λ 0 ∥ λ) = E λ 0 (log ⁡ p λ 0 (x) p λ (x)) = E λ 0 (log ⁡ λ 0 e – λ 0 x λ e – λ x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) – (λ 0 – λ) E λ 0 (x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) + λ λ 0 – 1. {\ displaystyle {\ alkaa {tasattu} \ Delta (\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda) & = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}} (x)} {p _ {\ lambda} (x)}} \ right) \\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {- \ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {- \ lambda x}}} \ oikea) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) – ( \ lambda _ {0} – \ lambda) E _ {\ lambda _ {0}} (x) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ loki (\ lambda) + {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} – 1. \ end {kohdistettu}}}

Enimmäispitoisuus entropialleEdit

Kaikkien jatkuvien todennäköisyysjakaumien joukossa tuki on kiinteä.

Eksponentiaalisten satunnaismuuttujien vähimmäismäärän jakaumaEdit

Anna X1,. .., Xn ovat riippumattomia eksponentiaalisesti jakautuneita satunnaismuuttujia nopeusparametreilla λ1, …, λn. Sitten

min {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ min \ left \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ right \}}

jaetaan myös eksponentiaalisesti, parametri

λ = λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}.}

Tämä näkyy tarkastelemalla täydentävää kumulatiivista jakautumistoimintoa:

Pr (min {X 1, …, X n} > x) = Pr (X 1 > x,…, X n > x) = ∏ i = 1 n Pr (X i > x) = ∏ i = 1 n exp ⁡ (- x λ i) = exp ⁡ (- x ∑ i = 1 n λ i). {\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ Pr \ left (\ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} > x \ oikea) \\ = {} & \ Pr \ vasen (X_ {1} > x, \ dotsc, X_ {n} > x \ oikea) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ vasen (X_ {i} > x \ oikea) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left (-x \ lambda _ {i} \ right) = \ exp \ left (-x \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right ). \ end {tasattu}}}

Minimin saavuttavan muuttujan indeksi jaetaan kategorisen jakauman mukaan

Pr (k ∣ X k = min {X 1,…, X n}) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ Pr \ left (k \ mid X_ {k} = \ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} \ right) = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}.}

Todiste on seuraava:

Olkoon I = argmin i ∈ {1, ⋯, n} ⁡ {X 1 ,…, X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operaattorin nimi {argmin} _ {i \ in \ {1, \ dotsb, n \}} \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}} ja sitten Pr (I = k) = ∫ 0 ∞ Pr (X k = x) Pr (X i ≠ k > x) dx = ∫ 0 ∞ λ ke – λ kx (∏ i = 1, i ≠ kne – λ ix) dx = λ k ∫ 0 ∞ e – (λ 1 + ⋯ + λ n) xdx = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {then}} \ Pr (I = k) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr ( X_ {k} = x) \ Pr (X_ {i \ neq k} > x) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {- \ lambda _ {k} x} \ vasemmalle (\ prod _ {i = 1, i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ oikea) dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ oikea) x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}. \ end {tasattu}}}

Huomaa, että

max {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}

ei ole jakautunut eksponentiaalisesti.

iid: n yhteishetket eksponentiaalisen tilastotilaston muokkaus

E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ ∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ + ∑ k = 0 i – 1 1 ((n – k) λ) 2 + (∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ) 2. {\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ operaattorin nimi {E} \ left & = \ summa _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { (nk) \ lambda}} \ operaattorin nimi {E} \ vasen + \ operaattorin nimi {E} \ vasen \\ & = \ summa _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} \ summa _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} + \ summa _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {((nk) \ lambda) ^ {2}}} + \ vasen (\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {(nk) \ lambda}} \ right) ^ {2}. \ end {aligned}}}

Tämä näkyy vetoamalla täydellisen odotuslain ja muistittoman ominaisuuden lakiin:

E ⁡ = ∫ 0 ∞ E ⁡ f X (i) (x) dx = ∫ x = 0 ∞ x E ⁡ f X (i) (x) dx (koska X (i) = x ⟹ X (j) ≥ x) = ∫ x = 0 ∞ x + x] f X (i) (x) dx (muistittoman ominaisuuden perusteella) = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ operaattorin nimi {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operaattorin nimi {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ operaattorin nimi {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx & & \ vasen ({\ textrm {since}} ~ X _ {(i )} = x \ tarkoittaa X _ {(j)} \ geq x \ right) \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ right] f_ {X _ {(i)}} (x) \, dx & & \ vasen ({\ text { muistittoman ominaisuuden mukaan}} \ right) \\ & = \ summa _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda }} \ operaattorin nimi {E} \ vasen + \ operaattorin nimi {E} \ vasen. \ loppu {tasattu}}}

Kahden itsenäisen eksponentiaalisen satunnaismuuttujan summaMuokkaa

f Z (z) = ∫ – ∞ ∞ f X 1 (x 1) f X 2 (z – x 1) dx 1 = ∫ 0 z λ 1 e – λ 1 x 1 λ 2 e – λ 2 (z – x 1) dx 1 = λ 1 λ 2 e – λ 2 z ∫ 0 ze (λ 2 – λ 1) x 1 dx 1 = {λ 1 λ 2 λ 2 – λ 1 (e – λ 1 z – e – λ 2 z) jos λ 1 ≠ λ 2 λ 2 ze – λ z, jos λ 1 = λ 2 = λ. {\ displaystyle {\ begin {aligned} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}} ( x_ {1}) f_ {X_ {2}} (z-x_ {1}) \, dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {- \ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} (z-x_ {1})} \, dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {(\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}) x_ {1}} \, dx_ {1} \\ & = {\ begin { tapaukset} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}}} \ vasemmalle (e ^ {- \ lambda _ {1} z} -e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ right) & {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {- \ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda . \ end {tapaukset}} \ end {tasattu}}} H (Z) = 1 + γ + ln ⁡ (λ 1 – λ 2 λ 1 λ 2) + ψ (λ 1 λ 1 – λ 2), {\ displaystyle {\ begin {aligned} H (Z) & = 1 + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {\ lambda _ {1} – \ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ oikea) + \ psi \ vasen ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1} – \ lambda _ {2}}} \ oikea), \ end {tasattu}}}

missä γ {\ displaystyle \ gamma} on Euler-Mascheronin vakio ja ψ (⋅) {\ displaystyle \ psi (\ cdot)} on digammafunktio.

Yhtäläisten parametrien tapauksessa tuloksena on Erlang-jakauma, jonka muoto on 2 ja parametri λ, {\ displaystyle \ lambda,} joka turn on gammajakelun erityistapaus.