Bayesin lause

Bayes voi tehdä taikuutta!

Oletko koskaan miettinyt, kuinka tietokoneet oppivat ihmisistä?

Bayesin lause on tapa löytää todennäköisyys, kun tiedämme tietyt muut todennäköisyydet.

Kaava on:

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (B)

Mikä kertoo meille:		kuinka usein A tapahtuu, kun B tapahtuu, kirjoitettu P (A | B),
Kun tiedämme:		kuinka usein B tapahtuu, kun A tapahtuu, kirjoitetaan P (B | A)
		ja kuinka todennäköinen A on yksin, kirjoitettu P (A)
		ja kuinka todennäköinen B on yksin, kirjoitettu P (B)

Sanotaan, että P (tuli) tarkoittaa kuinka usein tulta on, ja P (savu) tarkoittaa kuinka usein me katso savua:

P (Tuli | Savu) tarkoittaa sitä, kuinka usein tulta on, kun voimme nähdä savua
P (Savu | Tuli) tarkoittaa, kuinka usein voimme nähdä savua, kun on tulta

Joten kaava kertoo meille ”eteenpäin” P (Tuli | Savu), kun tiedämme ”taaksepäin” P (Savu | Tuli)

Vain 4 numeroa

Kuvittele 100 ihmistä juhlissa, ja lasket, kuinka moni käyttää vaaleanpunaista vai ei, ja jos mies vai ei, niin saat nämä numerot:

Bayesin lause perustuu vain näihin 4 lukuun!

Tehdään joitain summia:

Ja lasketaan joitain todennäköisyyksiä:

Ja sitten pentu saapuu! Niin söpö pentu.

Mutta kaikki tietosi on kopioitu! Vain 3 arvoa säilyy:

• P (mies) = 0,4,
• P (vaaleanpunainen) = 0,25 ja
• P (vaaleanpunainen | mies) = 0,125

Voitko löytää P (mies | vaaleanpunainen)?

Kuvittele, että vaaleanpunainen pukeutunut vieras jättää rahaa taakse … oliko se mies? Voimme vastata tähän kysymykseen Bayesin lauseella:

P (Mies | Vaaleanpunainen) = P (Mies) P (Vaaleanpunainen | Mies) P (Vaaleanpunainen)

P (Mies | Vaaleanpunainen) ) = 0,4 × 0,1250,25 = 0,2

Huomaa: jos meillä olisi vielä raakatietoja, voimme laskea suoraan 525 = 0,2

Yleisyyttä

Miksi se toimii?

Korvataan numerot kirjaimilla:

Tarkastellaan nyt todennäköisyyksiä. Otetaan siis joitain suhteita:

• ”A”: n yleinen todennäköisyys on P (A) = s + ts + t + u + v
• ”B: lle annettu A”: n todennäköisyys on P ( B | A) = ss + t

Ja kerro ne sitten yhteen näin:

Tee nyt se uudelleen, mutta käytä P (B) ja P (A | B):

Molemmat tapoja saada sama tulos ss + t + u + v

Joten voimme nähdä, että:

P (B) P (A | B) = P (A) P ( B | A)

Mukava ja symmetrinen ei ole sitä?

Sen on todellakin oltava symmetrinen, koska voimme vaihtaa rivejä ja sarakkeita ja saada saman vasemman yläkulman.

Ja se on myös Bayes Fo rmula … jaa vain molemmat puolet P (B):

Muistaminen

Ajattele ensin ”AB AB AB” ja muista sitten ryhmitellä se seuraavasti: ”AB = A BA / B”

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (B)

Kissan allergia?

Yksi Bayesin lauseen kuuluisimmista käyttötarkoituksista on väärät positiiviset ja väärät negatiiviset.

Niille meillä on kaksi mahdollista A-tapausta, kuten Hyväksyntä / Epäonnistuminen (tai Kyllä / Ei jne.)

Haluamme tietää mahdollisuuden saada allergia, kun testi sanoo ”Kyllä”, kirjoitettu P (Allergia | Kyllä)

Saakaamme kaava:

P (Allergia | Kyllä) = P (Allergia) P (Kyllä | Allergia) P (Kyllä)

Voi ei! Emme tiedä, mikä on yleinen mahdollisuus, että testi sanoo ”Kyllä” …

… mutta voimme laskea sen laskemalla yhteen ne, joilla on allergia, ja ne, joilla ei ole allergiaa:

• 1%: lla on allergia, ja testi sanoo ”kyllä” 80%: lle heistä.
• 99%: lla ei ole allergiaa ja testissä sanotaan ”kyllä” 10%: lle. ne

Lisätään tämä yhteen:

P (kyllä) = 1% × 80% + 99% × 10% = 10,7%

Mikä tarkoittaa, että noin 10,7% väestöstä saa ”Kyllä” -tuloksen.

Joten nyt voimme täydentää kaavamme:

P (Allergia | Kyllä) = 1% × 80% 10,7% = 7.48%

P (Allergia | Kyllä) = noin 7%

Tämä on sama tulos, jonka saimme vääristä positiivisista ja vääristä negatiivisista.

Itse asiassa me osaa kirjoittaa erityisversion Bayes ”-kaavasta vain seuraaville:

P (A | B) = P (A) P (B | A) P (A) P (B | A) + P (ei A) P (B | ei A)

”A”, jossa on kolme (tai enemmän) tapausta

Näimme juuri ”A”: n, jossa on kaksi tapausta (A ja ei A), josta huolehdimme alarivillä.

Kun ”A”: lla on vähintään 3 tapausta, sisällytämme ne kaikki alimpaan riviin:

P (A1 | B ) = P (A1) P (B | A1) P (A1) P (B | A1) + P (A2) P (B | A2) + P (A3) P (B | A3) + … jne.