Apoteemia a voidaan käyttää minkä tahansa säännöllisen n-puolisen sivupituuden s polygonin alueen löytämiseen seuraavan kaavan mukaisesti, jossa todetaan myös, että alue on yhtä suuri kuin apoteemi kerrottuna puolet kehästä, koska ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Tämä kaava voidaan johtaa jakamalla n-puolinen monikulmio n-yhteneväisiin tasakylkisiin kolmioihin ja Sitten huomataan, että apothem on jokaisen kolmion korkeus ja että kolmion pinta-ala on puolet perustan kertoimesta. Kaikki seuraavat formulaatiot vastaavat:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 pinnasänky (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Säännöllisen monikulmion apoteemi on aina kirjoitetun ympyrän säde. Se on myös vähimmäisetäisyys monikulmion minkä tahansa sivun ja sen keskipisteen välillä.
Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös johtamaan ympyrän pinta-alan kaava helposti, koska kun sivujen määrä lähestyy ääretöntä, säännöllisen monikulmion alue lähestyy kirjoitetun ympyrän aluetta, jonka säde on r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}