Adiabaattinen prosessi

Matemaattinen yhtälö ihanteelliselle kaasulle, joka on palautuva (ts. ei entropian muodostus) adiabaattinen prosessi voidaan esittää polytrooppisella prosessin yhtälöllä

PV γ = vakio, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {vakio}},}

missä P on paine, V on tilavuus, ja tässä tapauksessa n = γ, jossa

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP on vakiopaineen ominaislämpö, CV on vakiotilavuuden ominaislämpö, γ on adiabaattinen indeksi ja f on vapausasteiden lukumäärä (3 yksiatomiselle kaasulle, 5 piimatkaasulle ja kollineaarisille molekyyleille, esim. hiilidioksidi).

Monatomisen ihanteellisen kaasun tapauksessa γ = 5/3 ja piimaakaasulle (kuten typpi ja happi, ilman pääkomponentit), y = 7/5. Huomaa, että yllä olevaa kaavaa sovelletaan vain klassisiin ihanteellisiin kaasuihin eikä Bose – Einstein- tai Fermi-kaasuihin.

Käänteisissä adiabaattisissa prosesseissa on totta myös, että

P 1 – γ T γ = vakio , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {vakio}},} VT f 2 = vakio, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {vakio}},}

missä T on absoluuttinen lämpötila. Tämä voidaan kirjoittaa myös:

T V γ – 1 = vakio. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {vakio}}.}

Esimerkki adiabaattisesta pakkauksestaMuokkaa

Bensiinimoottorin puristusiskua voidaan käyttää esimerkkinä adiabaattisista puristus. Mallioletukset ovat: sylinterin puristamaton tilavuus on yksi litra (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); sisällä oleva kaasu on ilma, joka koostuu pelkästään molekyylityypistä ja hapesta (siis piimaakaasu, jossa on 5 vapausastetta ja siten γ = 7/5); moottorin puristussuhde on 10: 1 (ts. männän 1 litran puristamatonta kaasua pienennetään 0,1 litraan); ja puristamaton kaasu on suunnilleen huoneen lämpötilassa ja paineessa (lämmin huonelämpötila ~ 27 ° C tai 300 K ja 1 bar = 100 kPa eli tyypillinen merenpinnan ilmanpaine).

P 1 V γ = vakio 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operaattorin nimi {vakio} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ teksti {Pa}} \ kertaa (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ kertaa 6,31 \ kertaa 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

joten tämän esimerkin adiabaattinen vakio on noin 6,31 Pa m4,2.

Kaasu puristetaan nyt 0,1 l: n (0,0001 m3) tilavuuteen (oletamme, että tämä tapahtuu riittävän nopeasti, jotta lämpöä ei pääse tai poistu kaasusta seinien läpi). Adiabaattinen vakio pysyy samana, mutta tuloksena olevan paineen tuntematon

P 2 V γ = vakio 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operaattorin nimi {vakio} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ kertaa (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

niin ratkaistaan mallille P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10-6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ kertaa 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ kertaa 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

tai 25,1 palkki. Huomaa, että tämä paineen nousu on enemmän kuin yksinkertainen 10: 1-puristussuhde osoittaisi; Tämä johtuu siitä, että kaasu ei vain puristu, vaan kaasun puristamiseksi tehty työ lisää myös sen sisäistä energiaa, mikä ilmenee kaasun lämpötilan nousuna ja ylimääräisenä paineen nousuna yli sen, mikä johtuisi yksinkertaistetusta 10 kertaa alkuperäisen paineen.

Voimme ratkaista myös moottorin sylinterin paineistetun kaasun lämpötilan käyttämällä ihanteellista kaasulakia, PV = nRT (n on kaasumäärä moolina ja R kaasu vakio tälle kaasulle). Alkuolosuhteemme ovat 100 kPa paine, 1 l tilavuus ja 300 K lämpötila, kokeellinen vakiomme (nR) on:

PVT = vakio 2 = 10 5 Pa × 10-3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operaattorin nimi {vakio} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ kertaa 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Tiedämme, että paineistetulla kaasulla on V = 0,1 L ja P = 2,51 × 106 Pa, joten voimme ratkaista lämpötilan:

T = PV-vakio 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10-4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operaattorin nimi {vakio} _ {2}}} = {\ frac {2,51 \ kertaa 10 ^ {6} ~ {\ teksti {Pa}} \ kertaa 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Tämä on 753 K: n tai 479 ° C: n tai 896 ° F: n loppulämpötila, joka on selvästi monien polttoaineiden syttymispisteen yläpuolella. Siksi korkeapainepuristettu moottori vaatii polttoaineita, jotka on erityisesti muotoiltu siten, että ne eivät syty itsestään (mikä aiheuttaisi moottorin kolkuttamisen, kun sitä käytetään näissä lämpötila- ja paineolosuhteissa), tai että ahdin, jossa on välijäähdytin paineen nostamiseksi, mutta lämpötilan nousu olisi edullista. Dieselmoottori toimii vielä ääriolosuhteissa, puristussuhteet ovat tyypillisiä vähintään 16: 1, jotta saadaan erittäin korkea kaasun lämpötila, joka varmistaa ruiskutetun polttoaineen välittömän syttymisen.

Adiabataattinen gasEdit-laajennus

Ihanteellisen kaasun vapauttamiseksi adiabaattisesti kaasu sisältyy eristettyyn säiliöön ja sen annetaan sitten laajentua tyhjiössä. Koska kaasulle ei ole ulkoista painetta laajentua vastaan, järjestelmän tekemä tai sen tekemä työ on nolla. Koska tämä prosessi ei sisällä mitään lämmönsiirtoa tai työtä, termodynamiikan ensimmäinen laki tarkoittaa, että järjestelmän sisäinen nettomuutos on nolla. Ihanteelliselle kaasulle lämpötila pysyy vakiona, koska sisäinen energia riippuu vain lämpötilasta. Koska vakiolämpötilassa entropia on verrannollinen tilavuuteen, entropia kasvaa tässä tapauksessa, joten tämä prosessi on peruuttamaton.

P – V-suhteen johtaminen adiabaattiselle lämmitykselle ja jäähdytykselleEdit

Adiabaattisen prosessin määritelmä on, että lämmönsiirto järjestelmään on nolla, δQ = 0. Sitten termodynamiikan ensimmäisen lain mukaan

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

missä dU on muutos järjestelmän sisäisessä energiassa ja δW on järjestelmän tekemä työ. Kaikki tehdyt työt (δW) on tehtävä sisäisen energian U kustannuksella, koska ympäristöstä ei tuoteta lämpöä δQ. Järjestelmän tekemä paine-tilavuus-työ δW määritellään seuraavasti: {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P ei kuitenkaan pysy vakiona adiabaattisen prosessin aikana, vaan muuttuu sen sijaan V: n mukana.

Halutaan tietää, kuinka dP: n ja dV: n arvot liittyvät toisiinsa adiabaattisen prosessin edetessä. Ihanteelliselle kaasulle (palauta ideaalikaasulaki PV = nRT) sisäinen energia saadaan:

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alfa nRT = \ alfa PV,}

jossa α on vapausasteiden määrä jaettuna kahdella, R on yleinen kaasuvakio ja n on järjestelmän moolien lukumäärä (vakio).

Eriyttävä yhtälö (3) tuottaa

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Yhtälö (4) ilmaistaan usein dU = nCV dT, koska CV = αR.

Korvaa nyt yhtälöt (2) ja (4) yhtälöön (1) saadaksesi

– P d V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

kerroin −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

ja jaa molemmat puolet PV: llä:

– (α + 1) d VV = a d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Kun olet integroinut vasemman ja oikean puolen V0: sta V: hen ja P0: sta P: hen ja vastaavasti sivujen muuttaminen,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ oikea).}

Eksponentoi molemmat puolet, korvaa α + 1 / α y: llä, lämpökapasiteettisuhde

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

ja poista negatiivinen merkki saadaksesi

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Siksi

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ vasen ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ oikea) \ vasen ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ oikea) ^ {\ gamma} = 1,}

ja

P 0 V 0 γ = PV γ = vakio. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operaattorin nimi {vakio}.}

P-T-suhteen johtaminen adiabaattista lämmitystä ja jäähdytystä varten Muokkaa

Korvaamalla ihanteellinen kaasulaki edellä olevaan, saadaan

P (n RTP) γ = vakio, {\ displaystyle P \ vasen ({\ frac {nRT} {P}} \ oikea) ^ {\ gamma } = \ operaattorin nimi {vakio},}

joka yksinkertaistuu muotoon

P 1 – γ T γ = vakio. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operaattorin nimi {vakio}.}

Diskreetin kaavan ja työlausekkeen johtaminenMuokkaa

Järjestelmän sisäisen energian muutos , mitattuna tilasta 1 tilaan 2, on yhtä suuri kuin

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Samanaikaisesti paineen ja tilavuuden muutos tämän prosessin seurauksena on yhtä suuri kuin

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Koska vaadimme prosessin olevan adiabaattinen, seuraavan yhtälön on oltava totta

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Edelliseen mennessä johdanto,

(4) PV γ = vakio = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Järjestäminen uudelleen (4 ) antaa

P = P1 (V1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ vasen ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ oikea) ^ {\ gamma}.}

Tämän korvaaminen (2): ksi antaa

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ vasen ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ oikea) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integroimalla saadaan lauseke työhön,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – y. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Korvaamalla γ = α + 1 / α toisella aikavälillä,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ vasen (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ oikea) .}

Uudelleenjärjestely,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ oikea).}

Käyttämällä ihanteellista kaasulakia ja olettaen, että molaarimäärä on vakio (kuten usein tapahtuu käytännössä),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ vasen (\ vasen ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ oikea) ^ {1- \ gamma} -1 \ oikea). }

Jatkuvan kaavan avulla

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ oikea) ^ {- \ gamma},}

tai

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Korvaamalla edelliseen lausekkeeseen W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ vasen (\ vasen ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ oikea) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ oikea).}

Korvaamalla tämä lauseke ja (1) kohtaan (3) saadaan

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) y – 1 y – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ oikea).}

Yksinkertaistaminen,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ vasen (\ vasen ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ oikea) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ oikea),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ vasen ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ oikea) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T2 = T1 (P2P1) y – 1 y. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ vasen ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ oikea) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }