Energía cinética de cuerpos rígidos
En la mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un objeto tan pequeño que se puede suponer que su masa existe en uno punto), o un cuerpo rígido no giratorio depende de la masa del cuerpo así como de su velocidad. La energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad. En forma de fórmula:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
donde m {\ displaystyle m} es la masa y v {\ displaystyle v} es la rapidez (o la velocidad) del cuerpo. En unidades del SI, la masa se mide en kilogramos, la velocidad en metros por segundo y la energía cinética resultante está en julios.
Por ejemplo, se calcularía la energía cinética de una masa de 80 kg (aproximadamente 180 libras ) viajando a 18 metros por segundo (aproximadamente 40 mph, o 65 km / h) como
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12,960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
Cuando una persona lanza una pelota, la persona trabaja en ella para darle velocidad mientras deja la mano. La bola en movimiento puede golpear algo y empujarlo, trabajando en lo que golpea. La energía cinética de un objeto en movimiento es igual al trabajo requerido para llevarlo desde el reposo a esa velocidad, o el trabajo que el objeto puede hacer mientras está en reposo: fuerza neta × desplazamiento = energía cinética, es decir,
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Dado que la energía cinética aumenta con el cuadrado de la velocidad, un objeto que duplica su velocidad tiene cuatro veces tanta energía cinética. Por ejemplo, un automóvil que viaja dos veces más rápido que otro requiere cuatro veces más distancia para detenerse, asumiendo una fuerza de frenado constante. Como consecuencia de esta cuadriplicación, se necesita cuatro veces el trabajo para duplicar la velocidad.
La energía cinética de un objeto está relacionada con su momento por la ecuación:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
donde:
p {\ displaystyle p \;} es el impulso m {\ displaystyle m \;} es la masa del cuerpo
Para la energía cinética de traslación, que es la energía cinética asociada con el movimiento rectilíneo, de un cuerpo rígido con masa constante m {\ displaystyle m \;}, cuyo centro de masa es moverse en línea recta con velocidad v {\ displaystyle v \;}, como se ve arriba es igual a
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
donde:
m {\ displaystyle m \;} es la masa del cuerpo v {\ displaystyle v \;} es la velocidad del centro de masa del cuerpo.
La energía cinética de cualquier entidad depende del marco de referencia en el que se mide. Sin embargo, la energía total de un sistema aislado, es decir, uno en el que la energía no puede entrar ni salir, no cambia con el tiempo en el marco de referencia en el que se mide. Por lo tanto, la energía química convertida en energía cinética por un motor de cohete se divide de manera diferente entre el cohete y su flujo de escape dependiendo del marco de referencia elegido. Esto se llama efecto Oberth. Pero la energía total del sistema, incluida la energía cinética, la energía química del combustible, el calor, etc., se conserva con el tiempo, independientemente de la elección del marco de referencia. Sin embargo, diferentes observadores que se muevan con diferentes marcos de referencia estarían en desacuerdo con el valor de esta energía conservada.
La energía cinética de tales sistemas depende de la elección del marco de referencia: el marco de referencia que da el valor mínimo de esa energía. es el centro del marco de impulso, es decir, el marco de referencia en el que el impulso total del sistema es cero. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema en su conjunto.
Derivación
El trabajo realizado al acelerar una partícula con masa m durante el intervalo de tiempo infinitesimal dt está dado por el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento infinitesimal dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
donde hemos asumido la relación p = mv y la validez de la segunda ley de Newton. ( Sin embargo, vea también la derivación relativista especial a continuación.)
Al aplicar la regla del producto, vemos que:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ Displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Por lo tanto, (asumiendo cons masa tant de modo que dm = 0), tenemos,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Dado que este es un diferencial total (es decir, solo depende del estado final, no de cómo llegó la partícula allí), podemos integrarlo y llamar al resultado energía cinética. Suponiendo que el objeto estaba en reposo en el tiempo 0, integramos del tiempo 0 al tiempo t porque el trabajo realizado por la fuerza para llevar el objeto del reposo a la velocidad v es igual al trabajo necesario para hacer lo contrario:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Esta ecuación establece que la energía cinética (Ek) es igual a la integral del producto escalar de la velocidad (v) de un cuerpo y el cambio infinitesimal del cuerpo » s momento (p). Se supone que el cuerpo comienza sin energía cinética cuando está en reposo (inmóvil).
Cuerpos en rotación
Si un cuerpo rígido Q está girando alrededor cualquier línea que pase por el centro de masa, entonces tiene energía cinética rotacional (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}) que es simplemente la suma de las energías cinéticas de sus partes móviles, y por lo tanto está dada por :
Mi r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ texto {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
donde:
(En esta ecuación, el momento de inercia debe tomarse alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y la rotación medida por ω debe estar alrededor de ese eje; existen ecuaciones más generales para sistemas donde el objeto está sujeto a oscilación debido a su forma excéntrica).
Energía cinética de sistemas
Un sistema de cuerpos puede tener energía cinética interna debido a la movimiento relativo de los cuerpos en el sistema. Por ejemplo, en el Sistema Solar los planetas y los planetoides orbitan alrededor del Sol. En un tanque de gas, las moléculas se mueven en todas direcciones. La energía cinética del sistema es la suma de las energías cinéticas de los cuerpos que contiene.
Un cuerpo macroscópico que es estacionario (es decir, se ha elegido un marco de referencia para que corresponda con el centro de momento del cuerpo ) puede tener varios tipos de energía interna a nivel molecular o atómico, que se puede considerar como energía cinética, debido a la traslación molecular, rotación y vibración, traslación y espín de electrones y espín nuclear. Todo esto contribuye a que el cuerpo «s masa, según lo dispuesto por la teoría especial de la relatividad. Cuando se habla de los movimientos de un cuerpo macroscópico, la energía cinética a la que se hace referencia suele ser la del movimiento macroscópico únicamente. Sin embargo, todas las energías internas de todo tipo contribuyen a la masa corporal, la inercia y la energía total.
Dinámica de fluidos
En dinámica de fluidos, la energía cinética por unidad de volumen en cada punto de un campo de flujo de fluido incompresible se llama presión dinámica en ese punto.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Dividiendo por V, la unidad de volumen:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {alineado}}}
donde q {\ displaystyle q} es la presión dinámica y ρ es la densidad del fluido incompresible.
Marco de referencia
La velocidad, y por lo tanto la energía cinética de un solo objeto, depende del marco (relativa ): puede tomar cualquier valor no negativo, eligiendo un marco de referencia inercial adecuado. Por ejemplo, una bala que pasa a un observador tiene energía cinética en la marco de referencia de este observador. La misma bala está estacionaria para un observador que se mueve con la misma velocidad que la bala, por lo que tiene energía cinética cero. Por el contrario, la energía cinética total de un sistema de objetos no puede reducirse a cero mediante una elección adecuada del marco de referencia inercial, a menos que todos los objetos tengan la misma velocidad. En cualquier otro caso, la energía cinética total tiene un mínimo distinto de cero, ya que no se puede elegir ningún sistema de referencia inercial en el que todos los objetos estén estacionarios. Esta energía cinética mínima contribuye a la masa invariante del sistema, que es independiente del marco de referencia.
La energía cinética total de un sistema depende del marco de referencia inercial: es la suma del total energía cinética en un marco del centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro de masa.
Esto se puede mostrar simplemente: sea V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} sea la velocidad relativa del centro de masa en el marco i en el marco k.Dado que
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ Displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Entonces,
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ Displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Por lo tanto, la energía cinética de un sistema es la más baja al centro de referencia del momento marcos, es decir, marcos de referencia en los que el centro de masa está estacionario (ya sea el marco del centro de masa o cualquier otro marco del centro de momento). En cualquier marco de referencia diferente, hay energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masa. La energía cinética del sistema en el centro del marco de momento es una cantidad que es invariante (todos los observadores ven que es la misma).
Rotación en sistemas
A veces es conveniente dividir la energía cinética total de un cuerpo en la suma de la energía cinética de traslación del centro de masa del cuerpo y la energía de rotación alrededor del centro de masa (energía de rotación):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
donde:
Ek es la energía cinética total Et es la energía cinética de traslación Er es la energía de rotación o energía cinética angular en el marco de reposo
Así, la energía cinética de una pelota de tenis en vuelo es la energía cinética debida a su rotación, más la energía cinética debida a su traslación.