PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ Displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
La caracterización de Feller de la distribución de Poisson compuesta establece que un valor entero no negativo rv X {\ displaystyle X} es infinitamente divisible si y solo si su distribución es una distribución de Poisson compuesta discreta. Se puede demostrar que la distribución binomial negativa discreta infinitamente divisible, es decir, si X tiene una distribución binomial negativa, entonces para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias discretas iid X1, …, Xn cuya suma tiene la misma distribución que X. La distribución geométrica de desplazamiento es discreta distribución de Poisson compuesta si Dado que es un caso trivial de distribución binomial negativa.
Esta distribución puede modelar llegadas por lotes (como en una cola masiva). La distribución de Poisson compuesta discreta también se usa ampliamente en la ciencia actuarial para modelar la distribución del monto total de la reclamación.
Cuando algunos α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} no son negativos, es la distribución de Poisson discreta pseudocompuesta. Definimos que cualquier variable aleatoria discreta Y {\ displaystyle Y} satisfaga la caracterización de la función generadora de probabilidad
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}