Definición básica Editar
La función f se puede reinterpretar como una familia de funciones de una variable indexada por las otras variables:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
En otras palabras, cada valor de y define una función, denotada fy , que es función de una variable x. Es decir,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
En esta sección, la notación de subíndice fy denota una función que depende de un valor fijo de y, y no de un derivada parcial.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
En esta expresión, a es una constante, no una variable, por lo que fa es una función de solo una variable real, que es x. En consecuencia, se aplica la definición de la derivada para una función de una variable:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} «(x) = 2x + a.}
El procedimiento anterior se puede realizar para cualquier elección de a. Al ensamblar las derivadas en una función se obtiene una función que describe la variación de f en el dirección x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Esta es la derivada parcial de f con respecto ax. Aquí ∂ es una d redondeada llamada símbolo de derivada parcial. Para distinguirla de la letra d, ∂ a veces se pronuncia «parcial».
En general, la derivada parcial de una función n-aria f (x1, …, xn) en la dirección xi en el punto (a1, …, an) se define como:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
En el cociente de diferencias anterior, todas las variables excepto x Me mantienen fijo. Esa elección de valores fijos determina una función de una variable
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
y por definición,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, yxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ Displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
En otras palabras, las diferentes opciones de un índice una familia de funciones de una variable como en el ejemplo anterior. Esta expresión también muestra que el cálculo de derivadas parciales se reduce al cálculo de derivadas de una variable.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ Displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ parcial f} {\ partid x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partidif} {\ partidx_ { n}}} (a) \ right).}
Este vector se llama gradiente de f en a. Si f es diferenciable en todos los puntos de algún dominio, entonces el gradiente es una función con valores vectoriales ∇f que lleva el punto a al vector ∇f (a). En consecuencia, el degradado produce un campo vectorial.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Definición formalEditar
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1) }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {alineado}} }
Incluso si todas las derivadas parciales ∂f / ∂xi (a) existen en un punto dado a, la la función no necesita ser continua allí. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en una vecindad de ay son continuas allí, entonces f es totalmente diferenciable en esa vecindad y la derivada total es continua. En este caso, se dice que f es una función C1. Esto se puede usar para generalizar para funciones con valores vectoriales, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} usando cuidadosamente un argumento por componentes.
La derivada parcial ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} se puede ver como otra función definida en U y, de nuevo, se puede diferenciar parcialmente. Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto (o en un conjunto), f se denomina función C2 en ese punto (o en ese conjunto); en este caso, las derivadas parciales se pueden intercambiar mediante el teorema de Clairaut:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {i}}}.}