PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Anzeigestil P_ {Y} (z) = \ Summe \ Grenzen _ {i = 0} ^ {\ Infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ Summe \ Grenzen _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ rechts), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellers Charakterisierung der zusammengesetzten Poisson-Verteilung besagt, dass eine nicht negative ganze Zahl mit dem Wert rv X {\ displaystyle X} genau dann unendlich teilbar ist, wenn ihre Verteilung eine diskrete zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist. Es kann gezeigt werden, dass die negative Binomialverteilung ist diskret unendlich teilbar, dh wenn X eine negative Binomialverteilung hat, dann existieren für jede positive ganze Zahl n diskrete iid Zufallsvariablen X1, …, Xn, deren Summe die gleiche Verteilung wie X hat. Die geometrische Verschiebungsverteilung ist diskret zusammengesetzte Poisson-Verteilung si Da es sich um einen trivialen Fall einer negativen Binomialverteilung handelt.
Diese Verteilung kann Stapelankünfte modellieren (z. B. in einer Massenwarteschlange). Die diskrete zusammengesetzte Poisson-Verteilung wird auch in der Versicherungsmathematik häufig zur Modellierung der Verteilung des gesamten Anspruchsbetrags verwendet.
Wenn einige α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} nicht negativ sind, ist dies der Fall die diskrete Pseudoverbindungs-Poisson-Verteilung. Wir definieren, dass jede diskrete Zufallsvariable Y {\ displaystyle Y}, die die Charakterisierung der Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion erfüllt,
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Anzeigestil G_ {Y} (z) = \ Summe \ Grenzen _ {n = 0} ^ {\ Infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limitiert _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}