P gegen NPEdit
Die Frage ist, ob für alle Probleme, für die ein Der Algorithmus kann eine bestimmte Lösung schnell überprüfen (dh in Polynomzeit). Ein Algorithmus kann diese Lösung auch schnell finden. Da ersteres die als NP bezeichnete Problemklasse beschreibt, während letzteres P beschreibt, entspricht die Frage der Frage, ob alle Probleme in NP auch in P sind. Dies wird allgemein als eine der wichtigsten offenen Fragen in der Mathematik und der theoretischen Informatik angesehen da es weitreichende Konsequenzen für andere Probleme in der Mathematik sowie für Biologie, Philosophie und Kryptographie hat (siehe P versus NP problembeweise Konsequenzen). Ein häufiges Beispiel für ein NP-Problem, von dem nicht bekannt ist, dass es in P vorliegt, ist das Boolesche Erfüllbarkeitsproblem.
Die meisten Mathematiker und Informatiker erwarten, dass P ≠ NP; Es bleibt jedoch unbewiesen.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Stephen Cook gegeben.
Hodge-VermutungEdit
Die Hodge-Vermutung lautet, dass Hodge-Zyklen für projektive algebraische Varietäten rationale lineare Kombinationen algebraischer Zyklen sind.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Pierre Deligne gegeben.
Riemann HypotheseEdit
Die Riemann-Hypothese lautet, dass alle nichttrivialen Nullen der analytischen Fortsetzung der Riemann-Zeta-Funktion einen Realteil von 1/2 haben. Ein Beweis oder eine Ablehnung davon hätte weitreichende Auswirkungen auf die Zahlentheorie, insbesondere auf die Verteilung von Primzahlen. Dies war Hilberts achtes Problem und wird auch ein Jahrhundert später noch als wichtiges offenes Problem angesehen.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Enrico Bombieri gegeben.
Existenz von Yang-Mills und MassenlückeEdit
In der Physik ist die klassische Yang-Mills-Theorie eine Verallgemeinerung der Maxwell-Theorie des Elektromagnetismus, bei der das chromo-elektromagnetische Feld selbst trägt Ladung. Als klassische Feldtheorie gibt es Lösungen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, so dass ihre Quantenversion masselose Teilchen (Gluonen) beschreiben sollte. Das postulierte Phänomen der Farbbeschränkung erlaubt jedoch nur gebundene Zustände von Gluonen, die massive Teilchen bilden Dies ist die Massenlücke. Ein weiterer Aspekt der Beschränkung ist die asymptotische Freiheit, die es denkbar macht, dass die Quanten-Yang-Mills-Theorie ohne Beschränkung auf Niedrigenergieskalen existiert. Das Problem besteht darin, die Existenz der Quanten-Yang-Mills-Theorie und genau festzulegen eine Massenlücke.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Arthur Jaffe und Edward Witten gegeben.
Navier – Stokes Existenz und GlätteEdit
Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten und sind eine der Säulen der Strömungsmechanik. Das theoretische Verständnis ihrer Lösungen ist jedoch unvollständig. Insbesondere enthalten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen häufig Turbulenzen, deren allgemeine Lösung trotz ihrer immensen Bedeutung in Wissenschaft und Technik eines der größten ungelösten Probleme in der Physik bleibt.
Sogar grundlegende Eigenschaften der Lösungen für Navier-Stokes wurden nie bewiesen. Für das dreidimensionale Gleichungssystem und unter bestimmten Anfangsbedingungen haben Mathematiker noch nicht bewiesen, dass es immer glatte Lösungen für alle Zeiten gibt. Dies wird als Navier-Stokes-Existenz- und Glättungsproblem bezeichnet.
Das Problem besteht darin, Fortschritte in Richtung einer mathematischen Theorie zu erzielen, die Einblick in diese Gleichungen gibt, indem entweder nachgewiesen wird, dass glatte, global definierte Lösungen existieren, die bestimmte erfüllen Bedingungen, oder dass sie nicht immer existieren und die Gleichungen zusammenbrechen.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Charles Fefferman gegeben.
Birch und Swinnerton-Dyer-VermutungEdit
Die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung befasst sich mit bestimmten Arten von Gleichungen: solchen, die elliptische Kurven über den rationalen Zahlen definieren. Die Vermutung ist, dass es eine einfache Möglichkeit gibt, festzustellen, ob solche Gleichungen eine endliche oder unendliche Anzahl rationaler Lösungen haben. Hilberts zehntes Problem befasste sich mit einer allgemeineren Art von Gleichung, und in diesem Fall wurde bewiesen, dass es keine Möglichkeit gibt, zu entscheiden, ob eine gegebene Gleichung überhaupt irgendwelche Lösungen hat.
Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Andrew Wiles gegeben.