MC Escher (Deutsch)

Eschers Arbeit ist unausweichlich mathematisch. Dies hat zu einer Trennung zwischen seinem vollen Ruhm in der Bevölkerung und dem Mangel an Wertschätzung geführt mit dem er in der Kunstwelt gesehen wurde. Seine Originalität und Beherrschung der grafischen Techniken werden respektiert, aber seine Werke wurden für zu intellektuell und unzureichend lyrisch gehalten. Bewegungen wie die Konzeptkunst haben die Kunstwelt bis zu einem gewissen Grad umgekehrt Einstellung zu Intellektualität und Lyrik, aber dies hat Escher nicht rehabilitiert, weil traditionelle Kritiker seine narrativen Themen und seinen Perspektivgebrauch immer noch nicht mochten. Diese Eigenschaften machten seine Arbeit jedoch für die Öffentlichkeit sehr attraktiv.

Escher ist nicht der erste Künstler, der sich mit mathematischen Themen befasst: Parmigianino (1503–1540) hatte in seinem Selbstporträt von 1524 die sphärische Geometrie und Reflexion untersucht in einem konvexen Spiegel, der sein eigenes Bild in einem gekrümmten Spiegel darstellt, während William Hogarths Satire über falsche Perspektive von 1754 Eschers spielerische Erforschung von Fehlern in der Perspektive vorwegnimmt. Ein weiterer früher künstlerischer Vorläufer ist Giovanni Battista Piranesi (1720–1778), dessen dunkle „fantastische“ Drucke wie The Drawbridge in seiner Carceri-Sequenz („Prisons“) Perspektiven komplexer Architektur mit vielen Treppen und Rampen darstellen, die von wandelnden Figuren bevölkert werden. Erst mit Bewegungen des 20. Jahrhunderts wie Kubismus, De Stijl, Dadaismus und Surrealismus begann die Mainstream-Kunst, Escher-ähnliche Sichtweisen auf die Welt mit mehreren gleichzeitigen Gesichtspunkten zu erforschen. Obwohl Escher zum Beispiel viel mit Magrittes Surrealismus gemeinsam hatte, nahm er mit keiner dieser Bewegungen Kontakt auf.

• Vorläufer von Eschers gekrümmten Perspektiven, Geometrien und Reflexionen: Parmigianinos Selbstporträt in einem konvexen Spiegel, 1524

• Vorläufer von Eschers unmöglichen Perspektiven: William Hogarths Satire in falscher Perspektive, 1753

• Vorläufer von Eschers fantastischer endloser Treppe: Piranesis Carceri-Tafel VII – Die Zugbrücke, 1745, überarbeitet 1761

Tessellation

In seinen frühen Jahren skizzierte Escher Landschaften und Natur. Er skizzierte auch Insekten wie Ameisen, Bienen, Heuschrecken und Gottesanbeterinnen, die in seinen späteren Arbeiten häufig vorkamen.Seine frühe Liebe zu römischen und italienischen Landschaften und zur Natur weckte ein Interesse an Tessellation, das er Regular Division of the Plane nannte. Dies wurde der Titel seines Buches von 1958 mit Reproduktionen einer Reihe von Holzschnitten, die auf Tessellationen der Ebene basierten und in denen er den systematischen Aufbau mathematischer Entwürfe in seinen Kunstwerken beschrieb. Er schrieb: „Mathematiker haben das Tor zu einer ausgedehnten Domäne geöffnet.“

Nach seiner Reise 1936 in die Alhambra und nach La Mezquita, Cordoba, wo er die maurische Architektur und die Mosaikdekorationen skizzierte Escher begann, die Eigenschaften und Möglichkeiten der Tessellation anhand geometrischer Gitter als Grundlage für seine Skizzen zu untersuchen. Anschließend erweiterte er diese zu komplexen ineinandergreifenden Designs, beispielsweise mit Tieren wie Vögeln, Fischen und Reptilien. Einer seiner ersten Versuche, eine Tessellation durchzuführen, war seine Bleistift-, Tusche- und Aquarellstudie zur regelmäßigen Teilung des Flugzeugs mit Reptilien (1939), die auf einem sechseckigen Gitter aufgebaut war. Die Köpfe der roten, grünen und weißen Reptilien treffen sich an einem Scheitelpunkt; Die Schwänze, Beine und Seiten der Tiere greifen genau ineinander. Es wurde als Grundlage für seine Lithographie Reptiles von 1943 verwendet.

Sein erstes Mathematikstudium begann mit Arbeiten von George Pólya und des Kristallographen Friedrich Haag über Flugzeugsymmetriegruppen, die ihm sein Bruder Berend, a Geologe. Er studierte sorgfältig die 17 kanonischen Tapetengruppen und erstellte periodische Kacheln mit 43 Zeichnungen verschiedener Symmetrietypen. Von diesem Zeitpunkt an entwickelte er einen mathematischen Ansatz für Symmetrieausdrücke in seinen Kunstwerken unter Verwendung seiner eigenen Notation. Ab 1937 schuf er Holzschnitte aus den 17 Gruppen. Seine Metamorphose I (1937) begann eine Reihe von Entwürfen, die mithilfe von Bildern eine Geschichte erzählten. In Metamorphosis I transformierte er konvexe Polygone in regelmäßige Muster in einer Ebene, um ein menschliches Motiv zu bilden. Er erweiterte den Ansatz in seinem vier Meter langen Stück Metamorphosis III.

In den Jahren 1941 und 1942 fasste Escher seine Ergebnisse für seinen eigenen künstlerischen Gebrauch in einem Skizzenbuch zusammen, das er (nach Haag) als Regelmatige vlakverdeling in asymmetrischer congruente veelhoeken („Regelmäßige Teilung der Ebene mit asymmetrischen kongruenten Polygonen“) bezeichnete. ). Die Mathematikerin Doris Schattschneider beschrieb dieses Notizbuch eindeutig als Aufzeichnung „einer methodischen Untersuchung, die nur als mathematische Forschung bezeichnet werden kann“. Sie definierte die Forschungsfragen, denen er folgte, als

(1) Was sind die möglichen Formen für eine Kachel, die eine regelmäßige Teilung der Ebene erzeugen kann? ist eine Kachel, die die Ebene mit ihren kongruenten Bildern füllen kann, so dass jede Kachel auf die gleiche Weise umgeben ist?
(2) Inwiefern sind die Kanten einer solchen Kachel durch Isometrien miteinander verbunden?

Geometrien

Obwohl Escher keine mathematische Ausbildung hatte – sein Verständnis der Mathematik war weitgehend visuell und intuitiv – seine Kunst hatte eine starke mathematische Komponente, und einige der Welten, die er zeichnete, waren um unmögliche Objekte herum aufgebaut. Nach 1924 skizzierte Escher Landschaften in Italien und Korsika mit unregelmäßigen Perspektiven, die in natürlicher Form unmöglich sind. Sein erster Druck einer unmöglichen Realität war Stillleben und Straße (1937); Unmögliche Treppen und mehrere visuelle und gravitative Perspektiven sind in populären Werken wie der Relativitätstheorie (1953) zu finden. House of Stairs (1951) erregte das Interesse des Mathematikers Roger Penrose und seines Vaters, des Biologen Lionel Penrose. 1956 veröffentlichten sie einen Artikel mit dem Titel „Unmögliche Objekte: Eine besondere Art der visuellen Illusion“ und schickten Escher später eine Kopie. Escher antwortete und bewunderte die Penroses „kontinuierlich ansteigenden Treppen und legte einen Druck von Ascending and Descending (1960) bei. Das Papier enthielt auch das Tribar- oder Penrose-Dreieck, das Escher in seiner Lithographie eines Gebäudes, das als zu fungieren scheint, wiederholt verwendete eine Perpetual-Motion-Maschine, Waterfall (1961).

Escher interessierte sich genug für Hieronymus Boschs 1500er Triptychon Der Garten der irdischen Freuden, um einen Teil seiner rechten Tafel, Hölle, als Lithographie nachzubilden 1935. In seiner Lithografie Belvedere verwendete er 1958 die Figur einer mittelalterlichen Frau in einem zweizackigen Kopfschmuck und einem langen Kleid. Das Bild ist, wie viele seiner anderen „außergewöhnlich erfundenen Orte“, mit „Narren, Schurken und Kontemplatoren“ bevölkert. So interessierte sich Escher nicht nur für mögliche oder unmögliche Geometrie, sondern war nach seinen eigenen Worten ein „Reality-Enthusiast“; Er verband „formales Erstaunen mit einer lebendigen und eigenwilligen Vision“.

Escher arbeitete hauptsächlich in den Medien Lithographien und Holzschnitte, obwohl die wenigen Mezzotints, die er machte, als Meisterwerke der Technik gelten. In seiner Grafik porträtierte er mathematische Beziehungen zwischen Formen, Figuren und Raum. In seine Drucke waren Spiegelbilder von Kegeln, Kugeln, Würfeln, Ringen und Spiralen integriert.

Escher war auch fasziniert von mathematischen Objekten wie dem Möbius-Streifen, der nur eine Oberfläche hat. Sein Holzstich Möbius Strip II (1963) zeigt eine Ameisenkette, die für immer über die beiden gegenüberliegenden Seiten des Objekts marschiert, die bei der Inspektion als Teile der einzelnen Oberfläche des Streifens angesehen werden Eschers eigene Worte:

Ein endloses ringförmiges Band hat normalerweise zwei unterschiedliche Oberflächen, eine innen und eine außen. Doch auf diesem Streifen kriechen neun rote Ameisen nacheinander und bewegen sich sowohl auf der Vorder- als auch auf der Rückseite. Daher hat der Streifen nur eine Oberfläche.

Der mathematische Einfluss in seiner Arbeit wurde nach 1936 deutlich, als er die Adria Shipping Company mutig gefragt hatte, ob er könnte Als reisender Künstler segelten sie mit ihnen als Gegenleistung für Zeichnungen ihrer Schiffe. Sie waren sich überraschenderweise einig, und er segelte über das Mittelmeer und interessierte sich für Ordnung und Symmetrie. Escher beschrieb diese Reise, einschließlich seines wiederholten Besuchs in der Alhambra, als „die reichste Inspirationsquelle, die ich je erschlossen habe“.

Eschers Interesse an einer krummlinigen Perspektive wurde von seinem Freund und „verwandten Geist“ gefördert. Der Kunsthistoriker und Künstler Albert Flocon identifizierte Escher neben Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer, Abraham Bosse, Girard Desargues und Père Nicon als „denkenden Künstler“ Flocon war begeistert von Eschers Grafiek en tekeningen („Graphics in Drawing“), das er 1959 las. Dies regte Flocon und André Barre an, mit Escher zu korrespondieren und das Buch La Perspective curviligne („Krummlinige Perspektive“) zu schreiben.

Platonische und andere Körper

Escher hat häufig dreidimensionale Objekte wie die platonischen Körper wie Kugeln, Tetraeder und Würfel in seine Arbeiten aufgenommen sowie mathematische Objekte wie Zylinder und sternförmige Polyeder. In den gedruckten Reptilien kombinierte er zwei- und dreidimensionale Bilder. In einer seiner Arbeiten betonte Escher die Bedeutung der Dimensionalität:

Die flache Form irritiert mich – ich möchte meinen Objekten sagen, dass Sie zu fiktiv sind, statisch und gefroren nebeneinander liegen: etwas tun, vom Papier kommen und mir zeigen, was Sie können von! … Also lasse ich sie aus dem Flugzeug kommen … Meine Objekte … können endlich zum Flugzeug zurückkehren und an ihrem Ursprungsort verschwinden.

Eschers Kunstwerk ist Besonders beliebt bei Mathematikern wie Doris Schattschneider und Wissenschaftlern wie Roger Penrose, die gerne Polyeder und geometrische Verzerrungen verwenden. In der Gravitation klettern Tiere beispielsweise um ein sternförmiges Dodekaeder.

Die beiden Türme des unmöglichen Gebäudes des Wasserfalls sind mit zusammengesetzten Polyedern bedeckt, von denen einer aus drei Würfeln besteht und der andere aus einem sternförmigen rhombischen Dodekaeder als Eschers Feststoff. Escher hatte diesen Feststoff in seinen Holzschnittsternen von 1948 verwendet, die auch alle fünf platonischen Körper und verschiedene sternförmige Körper enthalten, die Sterne darstellen. Der zentrale Körper wird von Chamäleons animiert, die durch den Rahmen klettern, während er sich im Raum dreht. Escher besaß ein 6 cm brechendes Teleskop und war ein Amateurastronom, der scharf genug war, um Beobachtungen von Doppelsternen aufzuzeichnen.

Realitätsebenen

Eschers künstlerischer Ausdruck wurde aus Bildern in geschaffen Sein Interesse an den verschiedenen Ebenen der Realität in der Kunst zeigt sich in Werken wie Drawing Hands (1948), in denen zwei Hände gezeigt werden, die sich gegenseitig zeichnen. Der Kritiker Steven Poole kommentierte, dass

eine saubere Darstellung einer von Eschers anhaltenden Faszinationen ist: der Kontrast zwischen der zweidimensionalen Ebenheit eines Blattes Papier und die Illusion eines dreidimensionalen Volumens, das mit bestimmten Markierungen erzeugt werden kann. In Drawing Hands koexistieren Raum und flache Ebene, die beide voneinander geboren sind und zueinander zurückkehren. Die schwarze Magie der künstlerischen Illusion manifestiert sich gruselig.

Unendlichkeit und hyperbolische Geometrie

1954 traf sich der Internationale Mathematikerkongress in Amsterdam, und NG de Bruin organisierte für die Teilnehmer eine Ausstellung von Eschers Werken im Stedelijk Museum. Sowohl Roger Penrose als auch HSM Coxeter waren tief beeindruckt von Eschers intuitivem Verständnis der Mathematik. Inspiriert von der Relativitätstheorie entwarf Penrose seinen Tribar, und sein Vater Lionel Penrose entwarf eine endlose Treppe. Roger Penrose schickte Escher Skizzen beider Objekte und Der Erfindungszyklus wurde geschlossen, als Escher dann die Perpetual-Motion-Maschine des Wasserfalls und den endlosen Marsch der Mönchsfiguren des Auf- und Abstiegs schuf. 1957 erhielt Coxeter Eschers Erlaubnis, zwei seiner Zeichnungen in seiner Arbeit „Crystal“ zu verwenden Symmetrie und ihre Verallgemeinerungen „. Er schickte Escher eine Kopie des Papiers; Escher notierte, dass Coxeters Figur einer hyperbolischen Tessellation „einen ziemlichen Schock auslöste“: Die unendliche regelmäßige Wiederholung der Kacheln in der hyperbolischen Ebene, die zum Rand des Kreises hin rasch kleiner wurde, war genau das, was er ihm erlauben wollte stellen die Unendlichkeit auf einer zweidimensionalen Ebene dar.

Escher studierte sorgfältig Coxeters Figur und markierte sie, um die sukzessive kleineren Kreise zu analysieren, mit denen sie (wie er folgerte) konstruiert worden war. Anschließend erstellte er ein Diagramm, das er an Coxeter sandte und das seine Analyse zeigte. Coxeter bestätigte, dass es richtig war, enttäuschte Escher jedoch mit seiner hochtechnischen Antwort. Trotzdem beharrte Escher auf hyperbolischen Kacheln, die er „Coxetering“ nannte. Zu den Ergebnissen gehörte die Reihe der Holzstiche Circle Limit I – IV. 1959 veröffentlichte Coxeter seine Feststellung, dass diese Arbeiten außerordentlich genau waren: „Escher hat es absolut millimetergenau gemacht“.