Kinetische Energie starrer Körper
In der klassischen Mechanik die kinetische Energie eines Punktobjekts (eines Objekts, das so klein ist, dass angenommen werden kann, dass seine Masse bei einem existiert) Punkt) oder ein nicht rotierender starrer Körper hängt von der Masse des Körpers sowie seiner Geschwindigkeit ab. Die kinetische Energie ist gleich 1/2 des Produkts aus Masse und Quadrat der Geschwindigkeit. In Formelform:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
wobei m {\ Anzeigestil m} ist die Masse und v {\ Anzeigestil v} ist die Geschwindigkeit (oder die Geschwindigkeit) des Körpers. In SI-Einheiten wird die Masse in Kilogramm, die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde und die resultierende kinetische Energie in Joule gemessen.
Beispielsweise würde man die kinetische Energie einer 80 kg-Masse (etwa 180 lbs) berechnen ) Fahren mit 18 Metern pro Sekunde (ca. 65 km / h) als
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12.960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
Wenn eine Person einen Ball wirft, arbeitet die Person daran, um ihm Geschwindigkeit zu verleihen verlässt die Hand. Der sich bewegende Ball kann dann etwas treffen und schieben und an dem arbeiten, was er trifft. Die kinetische Energie eines sich bewegenden Objekts entspricht der Arbeit, die erforderlich ist, um es aus der Ruhe auf diese Geschwindigkeit zu bringen, oder der Arbeit, die das Objekt ausführen kann, während es zur Ruhe gebracht wird: Nettokraft × Verschiebung = kinetische Energie, dh
F. s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Da die kinetische Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt, hat ein Objekt, das seine Geschwindigkeit verdoppelt, das Vierfache so viel kinetische Energie. Zum Beispiel benötigt ein Auto, das doppelt so schnell fährt wie ein anderes, viermal so viel Abstand zum Anhalten, wenn eine konstante Bremskraft angenommen wird. Infolge dieser Vervierfachung ist das Vierfache der Arbeit erforderlich, um die Geschwindigkeit zu verdoppeln.
Die kinetische Energie eines Objekts wird durch die folgende Gleichung mit seinem Impuls in Beziehung gesetzt:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
wobei:
p {\ displaystyle p \;} der Impuls m {\ ist Anzeigestil m \;} ist die Masse des Körpers
Für die translatorische kinetische Energie, dh die kinetische Energie, die mit der geradlinigen Bewegung verbunden ist, eines starren Körpers mit konstanter Masse m {\ Anzeigestil m \;}, dessen Schwerpunkt liegt Das Bewegen in einer geraden Linie mit der Geschwindigkeit v {\ displaystyle v \;}, wie oben gezeigt, ist gleich
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
wobei:
m {\ displaystyle m \;} die Masse des Körpers ist v {\ displaystyle v \;} die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts ist vom Körper.
Die kinetische Energie einer Entität hängt von dem Referenzrahmen ab, in dem sie gemessen wird. Die Gesamtenergie eines isolierten Systems, d. H. Eines Systems, in das Energie weder eintreten noch austreten kann, ändert sich jedoch in dem Referenzrahmen, in dem sie gemessen wird, nicht über die Zeit. Somit wird die chemische Energie, die von einem Raketentriebwerk in kinetische Energie umgewandelt wird, je nach gewähltem Referenzrahmen unterschiedlich zwischen dem Raketenschiff und seinem Abgasstrom aufgeteilt. Dies nennt man den Oberth-Effekt. Die Gesamtenergie des Systems, einschließlich kinetischer Energie, chemischer Energie des Kraftstoffs, Wärme usw., bleibt jedoch unabhängig von der Wahl des Referenzrahmens im Laufe der Zeit erhalten. Verschiedene Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Referenzrahmen bewegen, würden sich jedoch nicht über den Wert dieser konservierten Energie einig sein.
Die kinetische Energie solcher Systeme hängt von der Wahl des Referenzrahmens ab: dem Referenzrahmen, der den Mindestwert dieser Energie angibt ist das Zentrum des Impulsrahmens, dh der Referenzrahmen, in dem der Gesamtimpuls des Systems Null ist. Diese minimale kinetische Energie trägt zur invarianten Masse des Gesamtsystems bei.
Ableitung
Die Arbeit zur Beschleunigung eines Teilchens mit der Masse m während des infinitesimalen Zeitintervalls dt ist gegeben durch das Punktprodukt der Kraft F und der infinitesimalen Verschiebung dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
wobei wir die Beziehung p = mv und die Gültigkeit von Newtons zweitem Gesetz angenommen haben. ( Siehe jedoch auch die spezielle relativistische Ableitung unten.)
Bei Anwendung der Produktregel sehen wir Folgendes:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Daher (unter der Annahme von Nachteilen) tante Masse, so dass dm = 0) ist, haben wir
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Da dies ein totales Differential ist (das heißt, es hängt nur vom Endzustand ab, nicht davon, wie das Teilchen dorthin gelangt ist), können wir es integrieren und das Ergebnis kinetische Energie nennen. Unter der Annahme, dass das Objekt zum Zeitpunkt 0 in Ruhe war, integrieren wir von Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt t, da die Arbeit, die von der Kraft ausgeführt wird, um das Objekt aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit v zu bringen, gleich der Arbeit ist, die erforderlich ist, um das Gegenteil zu tun:
E. k = ≤ 0 t F ≤ dx = ≤ 0 tv ≤ d (mv) = ≤ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Diese Gleichung besagt, dass die kinetische Energie (Ek) gleich dem Integral des Punktprodukts der Geschwindigkeit (v) eines Körpers und der infinitesimalen Änderung des Körpers ist. “ s Impuls (p) Es wird angenommen, dass der Körper im Ruhezustand (bewegungslos) ohne kinetische Energie beginnt.
Rotierende Körper
Wenn sich ein starrer Körper Q dreht Jede Linie durch den Schwerpunkt hat dann eine kinetische Rotationsenergie (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}), die einfach die Summe der kinetischen Energien ihrer beweglichen Teile ist und somit gegeben ist durch :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ Anzeigestil E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I. = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
wobei:
(In dieser Gleichung muss das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Massenmittelpunkt genommen und die Drehung durch ω gemessen werden muss um diese Achse sein; Es gibt allgemeinere Gleichungen für Systeme, bei denen das Objekt aufgrund seiner exzentrischen Form einem Wackeln ausgesetzt ist.
Kinetische Energie von Systemen
Ein Körpersystem kann aufgrund der Relativbewegung der Körper im System. Zum Beispiel umkreisen im Sonnensystem die Planeten und Planetoiden die Sonne. In einem Gastank bewegen sich die Moleküle in alle Richtungen. Die kinetische Energie des Systems ist die Summe der kinetischen Energien der darin enthaltenen Körper.
Ein makroskopischer Körper, der stationär ist (dh ein Referenzrahmen wurde ausgewählt, um dem Impulszentrum des Körpers zu entsprechen ) können auf molekularer oder atomarer Ebene verschiedene Arten von innerer Energie aufweisen, die aufgrund molekularer Translation, Rotation und Vibration, Elektronentranslation und Spin sowie Kernspin als kinetische Energie angesehen werden können. Diese tragen alle zum Körper bei Masse, wie es die spezielle Relativitätstheorie vorsieht. Bei der Erörterung von Bewegungen eines makroskopischen Körpers ist die kinetische Energie, auf die Bezug genommen wird, normalerweise nur die der makroskopischen Bewegung. Alle inneren Energien aller Art tragen jedoch zur Masse, Trägheit und Gesamtenergie des Körpers bei.
Fluiddynamik
In der Fluiddynamik ist die kinetische Energie pro Volumeneinheit an jedem Punkt in Ein inkompressibles Fluidströmungsfeld wird an diesem Punkt als dynamischer Druck bezeichnet.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Teilen durch V, die Volumeneinheit:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {align}}}
wobei q {\ displaystyle q} ist der dynamische Druck und ρ ist die Dichte des inkompressiblen Fluids.
Referenzrahmen
Die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie eines einzelnen Objekts ist rahmenabhängig (relativ) ): Es kann einen beliebigen nicht negativen Wert annehmen, indem ein geeigneter Trägheitsreferenzrahmen ausgewählt wird. Beispielsweise hat eine Kugel, die einen Beobachter passiert, kinetische Energie im Re Referenzrahmen dieses Beobachters. Dieselbe Kugel ist für einen Beobachter stationär, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Kugel bewegt, und hat daher keine kinetische Energie. Im Gegensatz dazu kann die gesamte kinetische Energie eines Objektsystems durch eine geeignete Wahl des Trägheitsreferenzrahmens nicht auf Null reduziert werden, es sei denn, alle Objekte haben die gleiche Geschwindigkeit. In jedem anderen Fall hat die gesamte kinetische Energie ein Minimum ungleich Null, da kein Trägheitsreferenzrahmen ausgewählt werden kann, in dem alle Objekte stationär sind. Diese minimale kinetische Energie trägt zur invarianten Masse des Systems bei, die unabhängig vom Referenzrahmen ist.
Die gesamte kinetische Energie eines Systems hängt vom Trägheitsreferenzrahmen ab: Sie ist die Summe der Gesamtsumme kinetische Energie in einem Mittelpunkt des Impulsrahmens und die kinetische Energie, die die Gesamtmasse hätte, wenn sie im Schwerpunkt konzentriert wäre.
Dies kann einfach gezeigt werden: sei V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} ist die Relativgeschwindigkeit des Massenschwerpunkts i im Rahmen k.Da
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ≤ (vi + V) = vi ≤ vi + 2 vi ≤ V + V ≤ V = vi 2 + 2 vi ≤ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Dann ist
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ id vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Somit ist die kinetische Energie eines Systems bis zum Mittelpunkt der Impulsreferenz am niedrigsten Rahmen, dh Referenzrahmen, in denen der Schwerpunkt stationär ist (entweder der Schwerpunktrahmen oder ein anderer Impulsmittelrahmen). In jedem anderen Bezugsrahmen gibt es zusätzliche kinetische Energie, die der Gesamtmasse entspricht, die sich mit der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts bewegt. Die kinetische Energie des Systems im Zentrum des Impulsrahmens ist eine unveränderliche Größe (alle Beobachter sehen sie als gleich an).
Rotation in Systemen
Manchmal ist dies zweckmäßig Um die gesamte kinetische Energie eines Körpers in die Summe der translatorischen kinetischen Energie des Körperschwerpunkts und der Rotationsenergie um den Massenschwerpunkt (Rotationsenergie) aufzuteilen:
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
wobei:
Ek die gesamte kinetische Energie Et ist ist die translatorische kinetische Energie Er ist die Rotationsenergie oder die kinetische Winkelnergie im Ruhezustand
Somit ist die kinetische Energie eines Tennisballs im Flug die kinetische Energie aufgrund seiner Rotation plus die kinetische Energie aufgrund seiner Translation.