Diagonale

Bei Anwendung auf ein Polygon ist eine Diagonale ein Liniensegment, das zwei nicht aufeinanderfolgende Scheitelpunkte verbindet. Daher hat ein Viereck zwei Diagonalen, die entgegengesetzte Eckpunktpaare verbinden. Bei jedem konvexen Polygon befinden sich alle Diagonalen innerhalb des Polygons, bei wiedereintretenden Polygonen befinden sich einige Diagonalen außerhalb des Polygons.

Seiten Diagonalen 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35	Seiten Diagonalen 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135	Seiten Diagonalen 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299	Seiten Diagonalen 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527
Seiten	Diagonalen
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

Durch Diagonalen gebildete RegionenEdit

In einem konvexen Polygon Wenn an einem einzelnen Punkt im Inneren keine drei Diagonalen gleichzeitig auftreten, ist die Anzahl der Bereiche, in die die Diagonalen das Innere unterteilen, gegeben durch

(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}

Für n-Gons mit n = 3, 4, … beträgt die Anzahl der Regionen

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …

Dies ist die OEIS-Sequenz A006522.

Schnittpunkte von DiagonalenEdit

Wenn an einem Punkt im Inneren keine drei Diagonalen eines konvexen Polygons gleichzeitig sind, die Anzahl der Innenräume Schnittpunkte von Diagonalen sind gegeben durch (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Dies gilt beispielsweise für jedes reguläre Polygon mit einer ungeraden Anzahl von Seiten. Die Formel folgt aus der Tatsache, dass jeder Schnittpunkt eindeutig durch die vier Endpunkte der beiden sich kreuzenden Diagonalen bestimmt wird: Die Anzahl der Schnittpunkte ist somit die Anzahl der Kombinationen der jeweils vier Eckpunkte.

Regular polygonsEdit

Ein Dreieck hat keine Diagonalen.

Ein reguläres Sechseck hat neun Diagonalen: Die sechs kürzeren sind gleich lang; Die drei längeren sind gleich lang und schneiden sich in der Mitte des Sechsecks. Das Verhältnis einer langen Diagonale zu einer Seite beträgt 2, und das Verhältnis einer kurzen Diagonale zu einer Seite beträgt 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.

Ein reguläres Siebeneck hat 14 Diagonalen. Die sieben kürzeren sind gleich und die sieben längeren sind gleich. Der Kehrwert der Seite entspricht der Summe der Kehrwerte einer kurzen und einer langen Diagonale.

In jedem regulären n-Gon mit n gerade schneiden sich die langen Diagonalen alle in der Mitte des Polygons.