Das Apothem a kann verwendet werden, um die Fläche eines regulären n-seitigen Polygons mit der Seitenlänge s gemäß der folgenden Formel zu ermitteln, die auch besagt, dass die Fläche gleich dem multiplizierten Apothem ist um den halben Umfang, da ns = p. A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Diese Formel kann abgeleitet werden, indem das n-seitige Polygon in n kongruente gleichschenklige Dreiecke und aufgeteilt wird Dann wird angemerkt, dass das Apothem die Höhe jedes Dreiecks ist und dass die Fläche eines Dreiecks der Hälfte der Basis mal der Höhe entspricht. Die folgenden Formulierungen sind alle äquivalent:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Ein Apothem eines regulären Polygons ist immer ein Radius des eingeschriebenen Kreises. Dies ist auch der Mindestabstand zwischen einer Seite des Polygons und seiner Mitte.
Diese Eigenschaft kann auch verwendet werden, um die Formel für die Fläche eines Kreises einfach abzuleiten, da sich die Anzahl der Seiten der Unendlichkeit nähert. Die Fläche des regulären Polygons nähert sich der Fläche des Beschriftungskreises mit dem Radius r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}