Adiabatischer Prozess

Die mathematische Gleichung für ein ideales Gas, das eine reversible (dh Nr Der adiabatische Prozess der Entropieerzeugung kann durch die polytropische Prozessgleichung

PV γ = Konstante, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {Konstante}},}

dargestellt werden, wobei P Druck ist, V. ist das Volumen und für diesen Fall ist n = γ, wobei

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP ist die spezifische Wärme für konstanten Druck, CV ist die spezifische Wärme für konstantes Volumen, γ ist der adiabatische Index und f ist die Anzahl der Freiheitsgrade (3) für einatomiges Gas 5 für zweiatomiges Gas und kollineare Moleküle, z. B. Kohlendioxid).

Für ein einatomiges ideales Gas gilt γ = 5/3 und für ein zweiatomiges Gas (wie Stickstoff und Sauerstoff, die Hauptkomponenten von Luft) ist γ = 7/5. Beachten Sie, dass die obige Formel nur für klassische ideale Gase und nicht für Bose-Einstein- oder Fermi-Gase gilt.

Für reversible adiabatische Prozesse gilt auch, dass

P 1 – γ T γ = konstant ist , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {Konstante}},} VT f 2 = konstant, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {Konstante}},}

wobei T eine absolute Temperatur ist. Dies kann auch als T V γ – 1 = Konstante geschrieben werden. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {Konstante}}.}

Beispiel für adiabatische KompressionEdit

Der Kompressionshub in einem Benzinmotor kann als Beispiel für adiabatisch verwendet werden Kompression. Die Modellannahmen sind: Das unkomprimierte Volumen des Zylinders beträgt einen Liter (1 l = 1000 cm3 = 0,001 m3); das Gas darin ist die Luft, die nur aus molekularem Stickstoff und Sauerstoff besteht (also ein zweiatomiges Gas mit 5 Freiheitsgraden und somit γ = 7/5); das Verdichtungsverhältnis des Motors beträgt 10: 1 (dh das 1 l-Volumen an nicht komprimiertem Gas wird durch den Kolben auf 0,1 l reduziert); und das nicht komprimierte Gas hat ungefähr Raumtemperatur und -druck (eine warme Raumtemperatur von ~ 27 ° C oder 300 K und ein Druck von 1 bar = 100 kPa, dh typischer atmosphärischer Meeresspiegeldruck) 1 V γ = Konstante 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ Anzeigestil P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ Operatorname {Konstante} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ Text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ times 6.31 \ times 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

Unsere adiabatische Konstante für dieses Beispiel beträgt also ungefähr 6,31 Pa m4.2.

Das Gas wird jetzt auf ein Volumen von 0,1 l (0,0001 m3) komprimiert (wir gehen davon aus, dass dies schnell genug geschieht, damit keine Wärme durch die Wände in das Gas eindringen oder es verlassen kann). Die adiabatische Konstante bleibt gleich, aber mit dem resultierenden Druck unbekannt P 2 V γ = Konstante 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V. ^ {\ gamma} = \ operatorname {Konstante} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

so nach P2 lösen:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ mal 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ mal 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

oder 25,1 bar. Beachten Sie, dass dieser Druckanstieg mehr ist, als ein einfaches Kompressionsverhältnis von 10: 1 anzeigen würde. Dies liegt daran, dass das Gas nicht nur komprimiert wird, sondern die zum Komprimieren des Gases geleistete Arbeit auch seine innere Energie erhöht, was sich in einem Anstieg der Gastemperatur und einem zusätzlichen Druckanstieg über das äußert, was sich aus einer vereinfachten Berechnung von 10 ergeben würde mal den ursprünglichen Druck.

Wir können auch die Temperatur des Druckgases im Motorzylinder unter Verwendung des idealen Gasgesetzes PV = nRT (n ist die Gasmenge in Mol und R das Gas) ermitteln Konstante für dieses Gas). Unsere Anfangsbedingungen sind 100 kPa Druck, 1 l Volumen und 300 K Temperatur. Unsere experimentelle Konstante (nR) ist: PVT = Konstante 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {Konstante} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Wir wissen, dass das Druckgas V = 0,1 L und P = 2,51 × 106 Pa hat, also können wir nach der Temperatur auflösen:

T = PV-Konstante 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {Konstante} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ mal 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ mal 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Dies ist eine Endtemperatur von 753 K oder 479 ° C oder 896 ° F, die weit über dem Zündpunkt vieler Kraftstoffe liegt. Aus diesem Grund benötigt ein Hochkompressionsmotor Kraftstoffe, die speziell entwickelt wurden, um sich nicht selbst zu entzünden (was bei Betrieb unter diesen Temperatur- und Druckbedingungen zu einem Klopfen des Motors führen würde), oder einen Lader mit Ladeluftkühler, um einen Druckanstieg zu erzielen, jedoch mit einem niedrigeren Temperaturanstieg wäre vorteilhaft. Ein Dieselmotor arbeitet unter noch extremeren Bedingungen, wobei Verdichtungsverhältnisse von 16: 1 oder mehr typisch sind, um eine sehr hohe Gastemperatur bereitzustellen, die eine sofortige Zündung des eingespritzten Kraftstoffs gewährleistet.

Adiabatisch frei Expansion eines GasesEdit

Für eine adiabatische freie Expansion eines idealen Gases ist das Gas in einem isolierten Behälter enthalten und kann sich dann im Vakuum ausdehnen. Da es keinen äußeren Druck gibt, gegen den sich das Gas ausdehnen kann, ist die von oder am System geleistete Arbeit Null. Da dieser Prozess keine Wärmeübertragung oder Arbeit beinhaltet, impliziert der erste Hauptsatz der Thermodynamik, dass die interne Nettoenergieänderung des Systems Null ist. Für ein ideales Gas bleibt die Temperatur konstant, da die innere Energie in diesem Fall nur von der Temperatur abhängt. Da bei konstanter Temperatur die Entropie proportional zum Volumen ist, nimmt die Entropie in diesem Fall zu, weshalb dieser Prozess irreversibel ist.

Ableitung der PV-Beziehung für adiabatisches Heizen und KühlenEdit

Die Definition eines adiabatischen Prozesses ist, dass die Wärmeübertragung auf das System Null ist, δQ = 0. Dann gilt nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

wobei dU die Änderung der inneren Energie des Systems ist und δW die vom System geleistete Arbeit ist. Alle Arbeiten (δW) müssen auf Kosten der inneren Energie U durchgeführt werden, da keine Wärme δQ aus der Umgebung zugeführt wird. Die vom System geleistete Druck-Volumen-Arbeit δW ist definiert als

(2) δW = PdV. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P bleibt jedoch während eines adiabatischen Prozesses nicht konstant, sondern ändert sich stattdessen zusammen mit V.

Es ist erwünscht zu wissen, wie sich die Werte von dP und dV im Verlauf des adiabatischen Prozesses zueinander verhalten. Für ein ideales Gas (erinnern Sie sich an das ideale Gasgesetz PV = nRT) ist die innere Energie gegeben durch

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U. = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

wobei α die Anzahl der Freiheitsgrade geteilt durch zwei ist, R die universelle Gaskonstante ist und n die Anzahl der Mol im System ist (eine Konstante).

Differenzieren von Gleichung (3) ergibt

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Gleichung (4) wird oft als dU = nCV dT ausgedrückt, weil CV = αR. Ersetzen Sie nun die Gleichungen (2) und (4) durch Gleichung (1), um p – V d = zu erhalten α P d V + α V d P, {\ Anzeigestil -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

faktorisieren – P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ Anzeigestil – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

und dividiere beide Seiten durch PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Nach der Integration der linken und rechten Seite von V0 nach V und von P0 nach P und Ändern der Seiten,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V. } {V_ {0}}} \ right).}

Potenzieren Sie beide Seiten, ersetzen Sie α + 1 / α durch γ, das Wärmekapazitätsverhältnis

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

und eliminiere das negative Vorzeichen, um

(PP 0) = (V 0 V) γ zu erhalten. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Daher ist

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V. } {V_ {0}}} \ right) ^ {\ gamma} = 1,}

und

P 0 V 0 γ = PV γ = Konstante. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {Konstante}.}

Ableitung der P-T-Beziehung für adiabatisches Heizen und KühlenEdit

Wenn wir das ideale Gasgesetz in das Obige einsetzen, erhalten wir

P (n RTP) γ = Konstante, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {Konstante},}

, was zu

P 1 – γ T γ = Konstante vereinfacht. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {Konstante}.}

Ableitung der diskreten Formel und des ArbeitsausdrucksEdit

Die Änderung der internen Energie eines Systems , gemessen von Zustand 1 bis Zustand 2, ist gleich (1) & Dgr; U = & agr; R n T 2 – & agr; R n T 1 = & agr; R n & Dgr; T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Gleichzeitig ist die Arbeit, die das Druck-Volumen-Ergebnis infolge dieses Prozesses leistet, gleich

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Da der Prozess adiabatisch sein muss, Die folgende Gleichung muss wahr sein.

(3) ΔU + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Bis zum vorherigen Ableitung, (4) PV & ggr; = Konstante = P 1 V 1 & ggr;. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {Konstante}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Neuanordnung (4 ) ergibt P = P 1 (V 1 V) & ggr;. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Einsetzen in (2) ergibt

W. = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Durch Integrieren erhalten wir den Ausdruck für Arbeit,

W = P 1 V 1 & ggr; V 2 1 – & ggr; – V 1 1 – & ggr; 1 – & ggr; = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Ersetzen von γ = α + 1 / α im zweiten Term, W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Neuordnung,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Unter Verwendung des idealen Gasgesetzes und unter Annahme einer konstanten molaren Größe (wie dies in praktischen Fällen häufig vorkommt) ist

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Nach der stetigen Formel ist

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

oder

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Einsetzen von W in den vorherigen Ausdruck,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Einsetzen dieses Ausdrucks und (1) in (3) ergibt

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ right).}

Vereinfachen,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ rechts),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = T 1 (P 2 P 1) & ggr; – 1 & ggr;. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }}