P versus NPEdit
Spørgsmålet er, om ikke for alle de problemer, som en algoritme kan verificere en given løsning hurtigt (det vil sige på polynomisk tid), kan en algoritme også hurtigt finde den løsning. Da førstnævnte beskriver klassen af problemer kaldet NP, mens sidstnævnte beskriver P, svarer spørgsmålet til at spørge, om alle problemer i NP også er i P. Dette betragtes generelt som et af de vigtigste åbne spørgsmål i matematik og teoretisk datalogi da det har vidtrækkende konsekvenser for andre problemer i matematik og for biologi, filosofi og kryptografi (se P versus NP-problematiske konsekvenser). Et almindeligt eksempel på et NP-problem, der ikke vides at være i P, er det boolske tilfredshedsproblem.
De fleste matematikere og computerforskere forventer, at P ≠ NP; dog forbliver det uprøvet.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Stephen Cook.
Hodge conjectureEdit
Hodge-formodningen er, at for projicerende algebraiske sorter er Hodge-cyklusser rationelle lineære kombinationer af algebraiske cyklusser.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Riemann-hypotesen er, at alle ikke-små nuller i den analytiske fortsættelse af Riemann-zeta-funktionen har en reel del af 1/2. Et bevis eller afvisning af dette ville have vidtrækkende implikationer i talteorien, især for fordelingen af primtal. Dette var Hilberts ottende problem og betragtes stadig som et vigtigt åbent problem et århundrede senere.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Enrico Bombieri.
Yang – Mills eksistens og massespaltEdit
I fysik er klassisk Yang – Mills teori en generalisering af Maxwell-teorien om elektromagnetisme, hvor det kromelektromagnetiske felt som en klassisk feltteori har den løsninger, der bevæger sig med lysets hastighed, så dens kvanteversion skal beskrive masseløse partikler (gluoner). Det postulerede fænomen med farveindeslutning tillader kun kun bundne tilstande af gluoner, der danner massive partikler Dette er massespalten. Et andet aspekt af indespærring er asymptotisk frihed, der gør det tænkeligt, at kvante-Yang-Mills-teorien eksisterer uden begrænsning til lave energiskalaer. Problemet er at fastslå eksistensen af kvante-Yang-Mills-teorien et massespalt.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Arthur Jaffe og Edward Witten.
Navier – Stokes eksistens og glathed Rediger
Navier – Stokes-ligningerne beskriver væskernes bevægelse og er en af søjlerne i væskemekanikken. Imidlertid er den teoretiske forståelse af deres løsninger ufuldstændig. Navnlig inkluderer løsninger af Navier-Stokes-ligningerne ofte turbulens, hvis generelle løsning forbliver et af de største uløste problemer inden for fysik, på trods af dets enorme betydning inden for videnskab og teknik.
Selv grundlæggende egenskaber ved løsninger til Navier – Stokes er aldrig blevet bevist. For det tredimensionelle ligningssystem og givet nogle indledende betingelser har matematikere endnu ikke bevist, at glatte løsninger altid eksisterer hele tiden. Dette kaldes Navier – Stokes eksistens- og glathedsproblemet.
Problemet er at gøre fremskridt hen imod en matematisk teori, der vil give indsigt i disse ligninger ved at bevise, at der enten findes glatte, globalt definerede løsninger, der opfylder visse forhold, eller at de ikke altid eksisterer, og ligningerne bryder sammen.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Charles Fefferman.
Birch og Swinnerton-Dyer formodninger Rediger
Birch og Swinnerton-Dyer formodninger beskæftiger sig med visse typer ligninger: dem, der definerer elliptiske kurver over de rationelle tal. Formodningen er, at der er en enkel måde at fortælle, om sådanne ligninger har et endeligt eller uendeligt antal rationelle løsninger. Hilberts tiende problem drejede sig om en mere generel form for ligning, og i så fald blev det bevist, at der ikke er nogen måde at afgøre, om en given ligning endda har nogen løsninger.
Den officielle erklæring om problemet blev givet af Andrew Wiles.