Stiv legems kinetiske energi
I klassisk mekanik er den kinetiske energi af et punktobjekt (et objekt så lille, at dets masse kan antages at eksistere på en punkt) eller et ikke-roterende stift legeme afhænger af legemets masse såvel som dets hastighed. Den kinetiske energi er lig med 1/2 af massens produkt og kvadratet af hastigheden. I formelform:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
hvor m {\ displaystyle m} er massen og v {\ displaystyle v} er kroppens hastighed (eller hastighed). I SI-enheder måles masse i kg, hastighed i meter pr. Sekund, og den resulterende kinetiske energi er i joule.
For eksempel ville man beregne den kinetiske energi af en 80 kg masse (ca. 180 lbs ) kører med 18 meter pr. sekund (ca. 40 km / t eller 65 km / t) som
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ højre ) ^ {2} = 12.960 \, {\ text {J}} = 12.96 \, {\ text {kJ}}}
Når en person kaster en kugle, arbejder personen på den for at give den hastighed, når den forlader hånden. Den bevægelige kugle kan derefter ramme noget og skubbe det og udføre arbejde på, hvad det rammer. Den bevægende genstands kinetiske energi er lig med det arbejde, der kræves for at bringe den fra hvile til den hastighed, eller det arbejde, genstanden kan udføre, mens den bringes til hvile: nettokraft × forskydning = kinetisk energi, dvs.
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Da den kinetiske energi stiger med kvadratet af hastigheden, har et objekt, der fordobler dets hastighed, fire gange så meget kinetisk energi. For eksempel kræver en bil, der kører dobbelt så hurtigt som en anden, fire gange så stor afstand for at stoppe under forudsætning af en konstant bremsekraft. Som en konsekvens af denne firdobling tager det fire gange arbejdet at fordoble hastigheden.
Et objekts kinetiske energi er relateret til dets momentum ved ligningen:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
hvor:
p {\ displaystyle p \;} er momentum m {\ displaystyle m \;} er kroppens masse
For den translationelle kinetiske energi, det vil sige den kinetiske energi, der er forbundet med en retlinet bevægelse, af en stiv krop med konstant masse m {\ displaystyle m \;}, hvis massecenter er bevæger sig i en lige linje med hastighed v {\ displaystyle v \;}, som vist ovenfor er lig med
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
hvor:
m {\ displaystyle m \;} er kroppens masse v {\ displaystyle v \;} er massens centrum af kroppen.
Hvilken enheds kinetiske energi afhænger af referencerammen, hvori den måles. Den samlede energi i et isoleret system, dvs. et hvor energi hverken kan komme ind eller forlade, ændrer sig imidlertid ikke over tid i den referenceramme, hvori det måles. Således er den kemiske energi omdannet til kinetisk energi af en raketmotor opdelt forskelligt mellem raketskibet og dets udstødningsstrøm afhængigt af den valgte referenceramme. Dette kaldes Oberth-effekten. Men systemets samlede energi, inklusive kinetisk energi, kemisk energi til brændstof, varme osv., Bevares over tid, uanset valg af referenceramme. Forskellige observatører, der bevæger sig med forskellige referencerammer, vil imidlertid være uenige om værdien af denne konserverede energi.
Sådanne systems kinetiske energi afhænger af valget af referenceramme: referencerammen, der giver den mindste værdi af den energi er centrum for momentumrammen, dvs. referencerammen, hvor systemets samlede momentum er nul. Denne minimale kinetiske energi bidrager til systemets uforanderlige masse som helhed.
Afledning
Arbejdet med at accelerere en partikel med masse m i det uendelige tidsinterval dt er givet ved prikproduktet af kraft F og den uendelige minimale forskydning dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = v ⋅ dp = v ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
hvor vi har antaget forholdet p = mv og gyldigheden af Newtons anden lov. ( Se dog også den specielle relativistiske afledning nedenfor.)
Anvendelse af produktreglen ser vi, at:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (v ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Derfor (forudsat ulemper tant masse, så at dm = 0), har vi,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Da dette er en total forskel (det vil sige, det afhænger kun af den endelige tilstand, ikke hvordan partiklen kom der), kan vi integrere den og kalde resultatet kinetisk energi. Antages det, at objektet var i ro på tidspunktet 0, integreres vi fra tid 0 til tid t, fordi arbejdet udført af kraften for at bringe objektet fra hvile til hastighed v er lig med det arbejde, der er nødvendigt for at gøre det omvendte:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Denne ligning angiver, at den kinetiske energi (Ek) er lig med integralet af prikproduktet af hastigheden (v) af en krop og den uendelige minimale ændring af kroppen ” s momentum (p). Det antages, at kroppen starter uden kinetisk energi, når den er i ro (ubevægelig).
Roterende kroppe
Hvis et stift legeme Q roterer omkring enhver linje gennem massecentret, så har den kinetisk rotationsenergi (Er {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}), som simpelthen er summen af de kinetiske energier i dens bevægelige dele, og er således givet ved :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ displaystyle E _ {\ tekst {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} I = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
hvor:
(I denne ligning skal inertimomentet tages omkring en akse gennem massacenteret og rotation målt med ω skal være omkring den akse; der findes mere generelle ligninger for systemer, hvor objektet udsættes for wobling på grund af sin excentriske form).
Systemers kinetiske energi
Et system af organer kan have intern kinetisk energi på grund af relativ bevægelse af legemerne i systemet. For eksempel i solsystemet kredser planeterne og planetoiderne om solen. I en gastank bevæger molekylerne sig i alle retninger. Systemets kinetiske energi er summen af de kinetiske energier af de kroppe, det indeholder.
Et makroskopisk legeme, der er stationært (dvs. en referenceramme er valgt til at svare til kroppens momentum ) kan have forskellige former for intern energi på molekylært eller atomniveau, som kan betragtes som kinetisk energi på grund af molekylær translation, rotation og vibration, elektronoversættelse og spin og nuklear spin. Disse bidrager alle til kroppens masse, som leveret af den særlige relativitetsteori. Når man diskuterer bevægelser i en makroskopisk krop, er den kinetiske energi, der refereres til, normalt kun den makroskopiske bevægelse. Imidlertid bidrager alle interne energier af alle typer til kroppens masse, inerti og total energi.
Væskedynamik
I væskedynamik er den kinetiske energi pr. Volumenhed ved hvert punkt i et ukomprimerbart væskestrømningsfelt kaldes det dynamiske tryk på det tidspunkt.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Opdeler ved V, volumenheden:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ slut {justeret}}}
hvor q {\ displaystyle q} er det dynamiske tryk, og ρ er densiteten af den ukomprimerbare væske.
Referenceramme
Hastigheden og dermed den kinetiske energi for et enkelt objekt er rammeafhængig (relativ ): det kan tage en hvilken som helst ikke-negativ værdi ved at vælge en passende inertial referenceramme. F.eks. har en kugle, der passerer en observatør, kinetisk energi i denne observatørs ramme. Den samme kugle er stationær for en observatør, der bevæger sig med samme hastighed som kuglen, og har således ingen kinetisk energi. I modsætning hertil kan den samlede kinetiske energi i et objektsystem ikke reduceres til nul ved et passende valg af inerti-referencerammen, medmindre alle objekterne har den samme hastighed. I ethvert andet tilfælde har den samlede kinetiske energi et ikke-nul minimum, da der ikke kan vælges nogen inerti-referenceramme, hvor alle objekterne er stationære. Denne minimale kinetiske energi bidrager til systemets uforanderlige masse, som er uafhængig af referencerammen.
Den samlede kinetiske energi i et system afhænger af den inertiale referenceramme: det er summen af det samlede kinetisk energi i et centrum af momentum-rammen og den kinetiske energi, som den samlede masse ville have, hvis den var koncentreret i centrum af massen.
Dette kan ganske enkelt vises: lad V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} er den relative hastighed for centrum af masseramme i rammen k.Da
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ left (v_ {i} + V \ right) ^ {2} = \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Derefter
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Således er et systems kinetiske energi lavest til centrum for momentumreference rammer, dvs. referencerammer, hvor massecentret er stationært (enten centrum af masserammen eller ethvert andet centrum af momentumrammen). I en hvilken som helst anden referenceramme er der yderligere kinetisk energi svarende til den samlede masse, der bevæger sig ved hastigheden af massecenteret. Systemets kinetiske energi i centrum af momentum-rammen er en mængde, der er uforanderlig (alle observatører ser det som det samme).
Rotation i systemer
Det er undertiden praktisk at opdele den samlede kinetiske energi af et legeme i summen af kroppens massecenter translationelle kinetiske energi og rotationsenergien omkring massecentret (rotationsenergi):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
hvor:
Ek er den samlede kinetiske energi Et er translationel kinetisk energi Er er rotationsenergi eller vinkel kinetisk energi i hvilestellet
Den kinetiske energi af en tennisbold under flyvning er således den kinetiske energi på grund af dens rotation plus den kinetiske energi på grund af dens translation. / p>