PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle P_ {Y} (z) = \ sum \ grænser _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ left (\ sum \ grænser _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellers karakterisering af forbindelsen Poisson-fordeling siger, at et ikke-negativt heltal, der er værdiansat rv X {\ displaystyle X}, kan deles uendeligt, hvis og kun hvis dets fordeling er en diskret sammensat Poisson-fordeling. Det kan vises, at den negative binomiale fordeling er diskret uendelig delelig, dvs. hvis X har en negativ binomialfordeling, så findes der for ethvert positivt heltal n diskrete iid tilfældige variabler X1, …, Xn hvis sum har den samme fordeling som X har. Den geometriske forskydning er forskellig sammensat Poisson fordeling si Når det er et trivielt tilfælde af negativ binomialfordeling.
Denne distribution kan modellere batch-ankomster (f.eks. i en bulk-kø). Den diskrete forbindelse Poisson-fordeling bruges også i vid udstrækning inden for aktuarmæssig videnskab til modellering af fordelingen af det samlede kravsbeløb.
Når nogle α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} er ikke-negative, er det den diskrete pseudoforbindelse Poisson-distribution. Vi definerer, at enhver diskret tilfældig variabel Y {\ displaystyle Y}, der tilfredsstiller sandsynlighedsgenererende funktionskarakterisering
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ sum \ grænser _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}