Eksponentiel fordeling

Middelværdi, varians, øjeblikke og medianredigering

Den gennemsnitlige eller forventede værdi af en eksponentielt fordelt tilfældig variabel X med hastighedsparameter λ er givet ved

E ⁡ = 1 λ. {\ displaystyle \ operatorname {E} = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

I lyset af eksemplerne nedenfor giver det mening: hvis du modtager telefonopkald med en gennemsnitlig hastighed på 2 i timen , så kan du forvente at vente en halv time på hvert opkald.

Variansen af X er givet ved

Var ⁡ = 1 λ 2, {\ displaystyle \ operatorname {Var} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}},}

så standardafvigelsen er lig med gennemsnittet.

Momenterne for X, for n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}} er givet af

E ⁡ = n! λ n. {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}}.}

De centrale øjeblikke i X, for n ∈ N {\ displaystyle n \ i \ mathbb {N}} er givet af

μ n =! n λ n = n! λ n ∑ k = 0 n (- 1) k k! . {\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ frac {! n} {\ lambda ^ {n}}} = {\ frac {n!} {\ lambda ^ {n}}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.}

hvor! n er underfaktor af n

Medianen for X er givet ved

m ⁡ = ln ⁡ (2) λ < E ⁡, {\ displaystyle \ operatorname {m} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda }} < \ operatorname {E},}

hvor ln henviser til den naturlige logaritme. Således er den absolutte forskel mellem middelværdien og medianen

| E ⁡ – m ⁡ | = 1 – ln ⁡ (2) λ < 1 λ = σ ⁡, {\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} \ left- \ operatorname {m} \ left \ right | = {\ frac {1- \ ln (2)} {\ lambda}} < {\ frac {1} {\ lambda}} = \ operatorname {\ sigma}, }

i overensstemmelse med den median-gennemsnitlige ulighed.

MemorylessnessEdit

En eksponentielt fordelt tilfældig variabel T adlyder forholdet

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > t), ∀ s, t ≥ 0 . {\ displaystyle \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) = \ Pr (T > t), \ qquad \ forall s, t \ geq 0.}

Dette kan ses ved at overveje den supplerende kumulative fordelingsfunktion:

Pr (T > s + t ∣ T > s) = Pr (T > s + t ∩ T > s) Pr (T > s) = Pr (T s + t) Pr (T > s) = e – λ (s + t) e – λ s = e – λ t = Pr (T > t). {\ displaystyle {\ begin {align} \ Pr \ left (T > s + t \ mid T > s \ right) & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ cap T > s \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)}} \\ & = {\ frac {\ Pr \ left (T > s + t \ right)} {\ Pr \ left (T > s \ right)} } \\ & = {\ frac {e ^ {- \ lambda (s + t)}} {e ^ {- \ lambda s}}} \\ & = e ^ {- \ lambda t} \\ & = \ Pr (T > t) . \ end {aligned}}}

Når T fortolkes som ventetiden for en begivenhed, der skal forekomme i forhold til et indledende tidspunkt, indebærer dette forhold, at hvis T er betinget af manglende overholdelse af begivenheden over en indledende periode af tid s er fordelingen af den resterende ventetid den samme som den oprindelige ubetingede fordeling. For eksempel, hvis en begivenhed ikke har fundet sted efter 30 sekunder, er den betingede sandsynlighed for, at forekomsten tager mindst 10 sekunder, lig med den ubetingede sandsynlighed for at observere begivenheden mere end 10 sekunder efter den indledende tid.

Den eksponentielle fordeling og den geometriske fordeling er de eneste hukommelsesløse sandsynlighedsfordelinger.

Den eksponentielle fordeling er følgelig også nødvendigvis den eneste kontinuerlige sandsynlighedsfordeling, der har en konstant fejlrate.

QuantilesEdit

Kvantilfunktionen (invers kumulativ fordelingsfunktion) for Exp (λ) er

F – 1 (p; λ) = – ln ⁡ (1 – p ) λ, 0 ≤ p < 1 {\ displaystyle F ^ {- 1} (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \ qquad 0 \ leq p < 1}

Kvartilerne er derfor:

• første kvartil: ln (4/3 ) / λ
• median: ln (2) / λ
• tredje kvartil: ln (4) / λ

Og som en konsekvens interkvartilområdet er ln (3) / λ.

Kullback – Leibler divergenceEdit

Δ (λ 0 ∥ λ) = E λ 0 (log ⁡ p λ 0 (x) p λ (x)) = E λ 0 (log ⁡ λ 0 e – λ 0 x λ e – λ x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) – (λ 0 – λ) E λ 0 (x) = log ⁡ (λ 0) – log ⁡ (λ) + λ λ 0 – 1. {\ displaystyle {\ begin {justeret} \ Delta (\ lambda _ {0} \ parallel \ lambda) & = \ mathbb {E} _ { \ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {p _ {\ lambda _ {0}} (x)} {p _ {\ lambda} (x)}} \ højre) \\ & = \ mathbb {E} _ {\ lambda _ {0}} \ left (\ log {\ frac {\ lambda _ {0} e ^ {- \ lambda _ {0} x}} {\ lambda e ^ {- \ lambda x}}} \ højre) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) – ( \ lambda _ {0} – \ lambda) E _ {\ lambda _ {0}} (x) \\ & = \ log (\ lambda _ {0}) – \ log (\ lambda) + {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} – 1. \ slut {justeret}}}

Maksimal entropifordelingEdit

Blandt alle kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger med support er fast.

Fordeling af minimumet af eksponentielle tilfældige variablerRediger

Lad X1,. .., Xn være uafhængige eksponentielt fordelte tilfældige variabler med hastighedsparametre λ1, …, λn. Derefter

min {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ min \ left \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ right \}}

distribueres også eksponentielt med parameter

λ = λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}.}

Dette kan ses ved at overveje den supplerende kumulative fordelingsfunktion:

Pr (min {X 1, …, X n} > x) = Pr (X 1 > x,…, X n > x) = ∏ i = 1 n Pr (X i > x) = ∏ i = 1 n exp ⁡ (- x λ i) = exp ⁡ (- x ∑ i = 1 n λ i). {\ displaystyle {\ begin {align} & \ Pr \ left (\ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} > x \ right) \\ = {} & \ Pr \ left (X_ {1} > x, \ dotsc, X_ {n} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ { n} \ Pr \ left (X_ {i} > x \ right) \\ = {} & \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ exp \ left (-x \ lambda _ {i} \ right) = \ exp \ left (-x \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right \. {end}}}

Indekset for variablen, der opnår minimumet, fordeles i henhold til den kategoriske fordeling

Pr (k ∣ X k = min {X 1,…, X n}) = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle \ Pr \ left (k \ mid X_ {k} = \ min \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \} \ right) = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}.}

Et bevis er som følger:

Lad jeg = argmin i ∈ {1, ⋯, n} ⁡ {X 1 ,…, X n} {\ displaystyle {\ text {Let}} I = \ operatorname {argmin} _ {i \ in \ {1, \ dotsb, n \}} \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}} derefter Pr (I = k) = ∫ 0 ∞ Pr (X k = x) Pr (X i ≠ k > x) dx = ∫ 0 ∞ λ ke – λ kx (∏ i = 1, i ≠ kne – λ ix) dx = λ k ∫ 0 ∞ e – (λ 1 + ⋯ + λ n) xdx = λ k λ 1 + ⋯ + λ n. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {then}} \ Pr (I = k) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ Pr ( X_ {k} = x) \ Pr (X_ {i \ neq k} > x) dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lambda _ {k} e ^ {- \ lambda _ {k} x} \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq k} ^ {n} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \ højre) dx \\ & = \ lambda _ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n} \ højre) x} dx \\ & = {\ frac {\ lambda _ {k}} { \ lambda _ {1} + \ dotsb + \ lambda _ {n}}}. \ slut {justeret}}}

Bemærk, at

max {X 1,…, X n} {\ displaystyle \ max \ {X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \}}

distribueres ikke eksponentielt.

Fælles øjeblikke af iid eksponentiel ordrestatistik Rediger

E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡ = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ ∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ + ∑ k = 0 i – 1 1 ((n – k) λ) 2 + (∑ k = 0 i – 1 1 (n – k) λ) 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} { (nk) \ lambda}} \ operatorname {E} \ left + \ operatorname {E} \ left \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} \ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda}} + \ sum _ {k = 0 } ^ {i-1} {\ frac {1} {((nk) \ lambda) ^ {2}}} + \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {i-1} {\ frac {1 } {(nk) \ lambda}} højre) ^ {2}. \ slut {justeret}}}

Dette kan ses ved at påberåbe sig loven om total forventning og den hukommelsesløse egenskab:

E ⁡ = ∫ 0 ∞ E ⁡ f X (i) (x) dx = ∫ x = 0 ∞ x E ⁡ f X (i) (x) dx (siden X (i) = x ⟹ X (j) ≥ x) = ∫ x = 0 ∞ x + x] f X (i) (x) dx (ved den hukommelsesløse egenskab) = ∑ k = 0 j – 1 1 (n – k) λ E ⁡ + E ⁡.{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ operatorname {E} \ leftf_ {X_ { (i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ textrm {since}} ~ X _ {(i )} = x \ betyder X _ {(j)} \ geq x \ right) \\ & = \ int _ {x = 0} ^ {\ infty} x \ left + x \ højre] f_ {X _ {(i)}} (x) \, dx & & \ left ({\ text { af den hukommelsesløse egenskab}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {j-1} {\ frac {1} {(nk) \ lambda }} \ operatorname {E} \ left + \ operatorname {E} \ left. \ end {align}}}

Summen af to uafhængige eksponentielle tilfældige variabler Rediger

f Z (z) = ∫ – ∞ ∞ f X 1 (x 1) f X 2 (z – x 1) dx 1 = ∫ 0 z λ 1 e – λ 1 x 1 λ 2 e – λ 2 (z – x 1) dx 1 = λ 1 λ 2 e – λ 2 z ∫ 0 ze (λ 2 – λ 1) x 1 dx 1 = {λ 1 λ 2 λ 2 – λ 1 (e – λ 1 z – e – λ 2 z) hvis λ 1 ≠ λ 2 λ 2 ze – λ z hvis λ 1 = λ 2 = λ. {\ displaystyle {\ begin {align} f_ {Z} (z) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X_ {1}} ( x_ {1}) f_ {X_ {2}} (z-x_ {1}) \, dx_ {1} \\ & = \ int _ {0} ^ {z } \ lambda _ {1} e ^ {- \ lambda _ {1} x_ {1}} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} (z-x_ {1})} \, dx_ {1} \\ & = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ int _ {0} ^ { z} e ^ {(\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}) x_ {1}} \, dx_ {1} \\ & = {\ begin { sager} {\ dfrac {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {2} – \ lambda _ {1}}} \ left (e ^ {- \ lambda _ {1} z} -e ^ {- \ lambda _ {2} z} \ right) & {\ text {if}} \ lambda _ {1} \ neq \ lambda _ {2} \ \\ lambda ^ {2} ze ^ {- \ lambda z} & {\ text {if}} \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda . \ end {cases}} \ end {aligned}}} H (Z) = 1 + γ + ln ⁡ (λ 1 – λ 2 λ 1 λ 2) + ψ (λ 1 λ 1 – λ 2), {\ displaystyle {\ begin {justeret} H (Z) & = 1 + \ gamma + \ ln \ left ({\ frac {\ lambda _ {1} – \ lambda _ {2 }} {\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}} \ højre) + \ psi \ venstre ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ l ambda _ {1} – \ lambda _ {2}}} \ højre), \ ende {justeret}}}

hvor γ {\ displaystyle \ gamma} er Euler-Mascheroni-konstanten, og ψ (⋅) {\ displaystyle \ psi (\ cdot)} er digamma-funktionen.

I tilfælde af parametre med samme hastighed er resultatet en Erlang-fordeling med form 2 og parameter λ, {\ displaystyle \ lambda,} som i tur er et specielt tilfælde af gammadistribution.