Som anvendt på en polygon er en diagonal et linjesegment, der forbinder et hvilket som helst to ikke-fortløbende hjørner. Derfor har en firkant to diagonaler, der forbinder modsatte par af hjørner. For enhver konveks polygon er alle diagonaler inde i polygonen, men for polygoner, der kommer ind igen, er nogle diagonaler uden for polygonen.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sider | Diagonaler | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Regioner dannet af diagonaler Rediger
I en konveks polygon , hvis ingen tre diagonaler er samtidige på et enkelt punkt i det indre, er antallet af regioner, som diagonalerne opdeler det indre, givet ved
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
For n-gons med n = 3, 4, … er antallet af regioner
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Dette er OEIS-sekvens A006522.
Skæringspunkter mellem diagonaler Rediger
Hvis der ikke er tre diagonaler i en konveks polygon på et sted i det indre, er antallet af indre skæringer af diagonaler er givet ved (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. Dette gælder for enhver almindelig polygon med et ulige antal sider. Formlen følger af det faktum, at hvert skæringspunkt bestemmes entydigt af de fire slutpunkter for de to skærende diagonaler: antallet af skæringspunkter er således antallet af kombinationer af n-hjørnerne fire ad gangen.
Regelmæssige polygonerRediger
En trekant har ingen diagonaler.
En almindelig sekskant har ni diagonaler: de seks kortere er ens i længden; de tre længere er lig med hinanden i længden og skærer hinanden i midten af sekskanten. Forholdet mellem en lang diagonal og en side er 2, og forholdet mellem en kort diagonal og en side er 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
En almindelig heptagon har 14 diagonaler. De syv kortere er ens, og de syv længere er hinanden. Den gensidige af siden er lig med summen af den gensidige af en kort og en lang diagonal.
I enhver regelmæssig n-gon med n jævn, skærer de lange diagonaler alle hinanden ved polygonens centrum.