Grundlæggende definition Rediger
Funktionen f kan fortolkes som en familie af funktioner for en variabel indekseret af de andre variabler:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Med andre ord definerer hver værdi af y en funktion, betegnet fy , som er en funktion af en variabel x. Det vil sige
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
I dette afsnit angiver abonnementsnotationen fy en funktion, der er betinget af en fast værdi på y og ikke en delvis afledt.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
I dette udtryk er a en konstant, ikke en variabel, så fa er kun en funktion reel variabel, det vil sige x. Derfor gælder definitionen af derivatet for en funktion af en variabel:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} “(x) = 2x + a.}
Ovenstående procedure kan udføres for ethvert valg af a. At samle derivaterne sammen til en funktion giver en funktion, der beskriver variationen af f i x retning:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}
Dette er det delvise afledte af f med hensyn til x. Her er ∂ en afrundet d kaldet det delvise afledte symbol. For at skelne det fra bogstavet d er ∂ undertiden udtalt “delvis”.
Generelt er den delafledte af en n-ary-funktion f (x1, …, xn) i retningen xi ved punktet (a1, …, an) defineret til at være:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
I ovenstående differenskvotient er alle variabler undtagen x jeg holdes fast. Valget af faste værdier bestemmer en funktion af en variabel
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
og pr. definition,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1,…, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Med andre ord, de forskellige valg for et indeks en familie af en variabel fungerer som i eksemplet ovenfor. Dette udtryk viser også, at beregningen af delvise derivater reduceres til beregningen af en-variabelderivater.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}
Denne vektor kaldes gradienten af f ved a. Hvis f er differentierbar på hvert punkt i et eller andet domæne, er gradienten en vektorværdieret funktion ∇f, der fører punktet a til vektoren ∇f (a). Gradienten frembringer derfor et vektorfelt.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 + … + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formel definitionEdit
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ begin {justeret} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {aligned}} }
Selvom alle delderivater ∂f / ∂xi (a) findes på et givet punkt a, funktionen behøver ikke at være kontinuerlig der. Men hvis alle delderivater findes i et kvarter af a og er kontinuerlige der, så er f fuldstændig differentierbar i dette kvarter, og det samlede derivat er kontinuerligt. I dette tilfælde siges det, at f er en C1-funktion. Dette kan bruges til at generalisere for vektorværdifunktioner, f: U → R m, {\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m},} ved omhyggeligt at bruge et komponentvis argument.
Delderivatet ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} kan ses som en anden funktion defineret på U og kan igen delvist differentieres. Hvis alle blandede andenordens partielle derivater er kontinuerlige ved et punkt (eller på et sæt), betegnes f en C2-funktion på det punkt (eller på det sæt); i dette tilfælde kan delderivaterne udveksles af Clairauts sætning:
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ delvis x_ {i}}}.}