Apothem a kan bruges til at finde arealet af en hvilken som helst regelmæssig n-sidet polygon med sidelængde s i henhold til følgende formel, som også angiver, at arealet er lig med det multiplicerede apothem med halvdelen af omkredsen siden ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Denne formel kan udledes ved at opdele den n-sidede polygon i n kongruente ligebenede trekanter, og bemærker derefter, at apotemet er højden af hver trekant, og at arealet af en trekant er lig med halvdelen af basen gange højden. Følgende formuleringer er alle ækvivalente:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 barneseng (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Et apotem af en regelmæssig polygon vil altid være en radius af den indskrevne cirkel. Det er også den mindste afstand mellem en hvilken som helst side af polygonen og dens centrum.
Denne egenskab kan også bruges til let at udlede formlen for et cirkelareal, fordi når antallet af sider nærmer sig uendeligt, det regulære polygonområde nærmer sig området for den indskrevne cirkel med radius r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}