Adiabatisk proces

Den matematiske ligning for en ideel gas, der gennemgår en reversibel (dvs. entropi generation) adiabatisk proces kan repræsenteres af den polytropiske procesligning

PV γ = konstant, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {konstant}},}

hvor P er tryk, V er volumen, og i dette tilfælde er n = γ, hvor

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP er den specifikke varme for konstant tryk, CV er den specifikke varme for konstant volumen, γ er det adiabatiske indeks, og f er antallet af frihedsgrader (3 for monatomisk gas, 5 for diatomær gas og kollinære molekyler, fx kuldioxid).

For en monatomisk ideel gas, γ = 5/3, og for en diatomisk gas (såsom nitrogen og ilt, luftens hovedkomponenter), γ = 7/5. Bemærk, at ovenstående formel kun gælder for klassiske ideelle gasser og ikke Bose – Einstein- eller Fermi-gasser.

For reversible adiabatiske processer er det også sandt, at

P 1 – γ T γ = konstant , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {constant}},} VT f 2 = konstant, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

hvor T er en absolut temperatur. Dette kan også skrives som

T V γ – 1 = konstant. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Eksempel på adiabatisk kompressionEdit

Kompressionstaget i en benzinmotor kan bruges som et eksempel på adiabatisk kompression. Modelantagelserne er: cylinderens ukomprimerede volumen er en liter (1 L = 1000 cm3 = 0,001 m3); gassen inden i er luften, der kun består af molekylært nitrogen og ilt (således en diatomisk gas med 5 frihedsgrader, og så γ = 7/5); motorens kompressionsforhold er 10: 1 (det vil sige, at 1 liter volumen ukomprimeret gas reduceres til 0,1 liter af stemplet); og den ukomprimerede gas har omtrent stuetemperatur og tryk (en varm stuetemperatur på ~ 27 ° C eller 300 K og et tryk på 1 bar = 100 kPa, dvs. typisk atmosfærisk havniveau).

P 1 V γ = konstant 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ times (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ gange 6.31 \ gange 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

så vores adiabatiske konstant for dette eksempel er ca. 6,31 Pa m4.2.

Gassen komprimeres nu til et volumen på 0,1 L (0,0001 m3) (vi antager, at dette sker hurtigt nok til, at ingen varme kan komme ind i eller lade gassen komme gennem væggene). Den adiabatiske konstant forbliver den samme, men med det resulterende tryk ukendt

P 2 V γ = konstant 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ times (0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

så løsning på P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6.31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0.0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6.31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ gange 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ gange 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

eller 25.1 bar. Bemærk, at denne trykstigning er mere end et simpelt kompressionsforhold på 10: 1 ville indikere; Dette skyldes, at gassen ikke kun komprimeres, men det arbejde, der udføres for at komprimere gassen, øger også dens indre energi, hvilket manifesterer sig ved en stigning i gastemperaturen og en yderligere stigning i trykket over det, der ville være resultatet af en forenklet beregning af 10 gange det oprindelige tryk.

Vi kan også løse temperaturen på den komprimerede gas i motorcylinderen ved hjælp af den ideelle gaslov, PV = nRT (n er mængden af gas i mol og R gassen konstant for den gas). Vores startbetingelser er 100 kPa tryk, 1 l volumen og 300 K temperatur, vores eksperimentelle konstant (nR) er:

PVT = konstant 2 = 105 Pa × 10 – 3 m 3300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Vi ved, at den komprimerede gas har V = 0,1 L og P = 2,51 × 106 Pa, så vi kan løse temperaturen:

T = PV konstant 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2.51 \ times 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ times 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0.333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

Det er en endelig temperatur på 753 K eller 479 ° C eller 896 ° F, langt over antændelsespunktet for mange brændstoffer. Dette er grunden til, at en motor med høj kompression kræver brændstoffer, der er specielt formuleret til ikke at selvantænde (hvilket ville medføre, at motoren banker, når den drives under disse temperatur- og trykforhold), eller at en kompressor med en intercooler giver et trykforøgelse, men med en lavere temperaturstigning ville være fordelagtig. En dieselmotor fungerer under endnu mere ekstreme forhold, hvor kompressionsforhold på 16: 1 eller mere er typiske for at tilvejebringe en meget høj gastemperatur, som sikrer øjeblikkelig antændelse af det indsprøjtede brændstof.

Adiabatisk fri ekspansion af en gasEdit

For en adiabatisk fri ekspansion af en ideel gas er gassen indeholdt i en isoleret beholder og får derefter lov til at ekspandere i vakuum. Da der ikke er noget eksternt tryk for gassen at ekspandere mod, er arbejdet udført af eller på systemet nul. Da denne proces ikke involverer nogen varmeoverførsel eller arbejde, indebærer den første lov om termodynamik, at systemets interne interne energiforandring er nul. For en ideel gas forbliver temperaturen konstant, fordi den indre energi kun afhænger af temperaturen i så fald. Da entropien ved konstant temperatur er proportional med volumenet, øges entropien i dette tilfælde, derfor er denne proces irreversibel.

Afledning af P-V-forhold til adiabatisk opvarmning og afkøling Rediger

Definitionen af en adiabatisk proces er, at varmeoverførslen til systemet er nul, δQ = 0. Derefter ifølge termodynamikens første lov

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

hvor dU er ændringen i systemets interne energi, og δW udføres af systemet. Alt arbejde (δW), der udføres, skal udføres på bekostning af intern energi U, da der ikke tilføres nogen varme δQ fra omgivelserne. Tryk – volumenarbejde δW udført af systemet er defineret som

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P forbliver dog ikke konstant under en adiabatisk proces, men ændres i stedet sammen med V.

Det ønskes at vide, hvordan værdierne af dP og dV relaterer til hinanden, når den adiabatiske proces forløber. For en ideel gas (husk ideel gaslov PV = nRT) gives den interne energi af

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

hvor α er antallet af frihedsgrader divideret med to, R er den universelle gaskonstant og n er antallet af mol i systemet (en konstant).

Differentierende ligning (3) giver

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Ligning (4) udtrykkes ofte som dU = nCV dT, fordi CV = αR.

Erstat nu ligninger (2) og (4) i ligning (1) for at opnå

– Pd V = α P d V + α V d P, {\ displaystyle -P \, dV = \ alpha P \, dV + \ alpha V \, dP,}

faktorize −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alpha V \, dP,}

og divider begge sider med PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Efter integrering af venstre og højre side fra V0 til V og fra henholdsvis P0 til P og ændring af siderne,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ højre).}

Eksponentier begge sider, erstat α + 1 / α med γ, varmekapacitetsforholdet

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

og fjern det negative tegn for at opnå

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Derfor,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ højre) ^ {\ gamma} = 1,}

og

P 0 V 0 γ = PV γ = konstant. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Afledning af P – T-relation til adiabatisk opvarmning og køling Rediger

Ved at erstatte den ideelle gaslov i ovenstående får vi

P (n RTP) γ = konstant, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatornavn {konstant},}

hvilket forenkler til

P 1 – γ T γ = konstant. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {konstant}.}

Afledning af diskret formel og arbejdsudtryk Rediger

Ændringen i et systems interne energi målt fra tilstand 1 til tilstand 2 er lig med

(1) Δ U = α R n T2 – α R n Ti = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Samtidig ændres det arbejde, der udføres af tryk-volumen som et resultat af denne proces, til

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Da vi kræver, at processen skal være adiabatisk, den følgende ligning skal være sandt

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Af det forrige afledning,

(4) PV y = konstant = P 1 V 1 y. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Omarrangering (4 ) giver

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

At erstatte dette i (2) giver

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrering får vi udtrykket for arbejde,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Udskiftning af γ = α + 1 / α i anden periode,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ left (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ right) .}

Omarrangering,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Brug den ideelle gaslov og antager en konstant molmængde (som ofte sker i praktiske tilfælde),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Ved den kontinuerlige formel,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ left ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ højre) ^ {- \ gamma},}

eller

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Substituerer i det foregående udtryk for W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ højre).}

Udskiftning af dette udtryk og (1) i (3) giver

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ højre).}

Forenkling,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ højre),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ venstre ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ højre) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T2 = Ti (P2P1) y – 1 y. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }