Při použití na mnohoúhelník je úhlopříčka úsečkou spojující kterékoli dva po sobě následující vrcholy. Proto má čtyřúhelník dvě úhlopříčky, spojující protilehlé páry vrcholů. U libovolného konvexního mnohoúhelníku jsou všechny úhlopříčky uvnitř mnohoúhelníku, ale u opakovaných polygonů jsou některé úhlopříčky mimo mnohoúhelník.
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Strany | Diagonály | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 560 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 36 | 594 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 37 | 629 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 38 | 665 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 39 | 702 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 40 | 740 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 41 | 779 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 42 | 819 |
Oblasti tvořené diagonalsEdit
V konvexním polygonu , pokud v jednom bodě interiéru nejsou souběžně žádné tři úhlopříčky, počet oblastí, na které úhlopříčky rozdělují interiér, je dán vztahem
(n 4) + (n – 1 2) = (n – 1) (n – 2) (n 2 – 3 n + 12) 24. {\ displaystyle {\ binom {n} {4}} + {\ binom {n-1} {2}} = {\ frac {(n-1) (n-2) (n ^ {2} -3n + 12)} {24}}.}
Pro n-gony s n = 3, 4, … je počet oblastí
1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 …
Toto je sekvence OEIS A006522.
Křižovatky diagonalsEdit
Pokud v určitém bodě uvnitř nejsou souběžné žádné tři úhlopříčky konvexního polygonu, počet vnitřních průsečíky úhlopříček jsou dány vztahem (n 4) {\ displaystyle {\ binom {n} {4}}}. To platí například pro libovolný pravidelný mnohoúhelník s lichým počtem stran. Vzorec vyplývá ze skutečnosti, že každý průsečík je jednoznačně určen čtyřmi koncovými body dvou protínajících se úhlopříček: počet průsečíků je tedy počet kombinací n vrcholů čtyři najednou.
Pravidelné polygonyEdit
Trojúhelník nemá žádné úhlopříčky.
Pravidelný šestiúhelník má devět úhlopříček: šest kratších má délku stejnou; tři delší jsou si navzájem rovné a protínají se ve středu šestiúhelníku. Poměr dlouhé úhlopříčky ke straně je 2 a poměr krátké úhlopříčky ke straně je 3 {\ displaystyle {\ sqrt {3}}}.
Pravidelný sedmiúhelník má 14 úhlopříček. Sedm kratších se navzájem rovná a sedm delších se navzájem rovná. Převrácená strana se rovná součtu převrácených hodnot krátké a dlouhé úhlopříčky.
V každém pravidelném n-gonu s n sudými se protínají dlouhé úhlopříčky navzájem ve středu mnohoúhelníku.