PY (z) = ∑ i = 0 ∞ P (Y = i) zi = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ Displaystyle P_ {Y} (z) = \ součet \ limity _ {i = 0} ^ {\ infty} P (Y = i) z ^ {i} = \ exp \ vlevo (\ součet \ limity _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ vpravo), \ quad (| z | \ leq 1)} X ∼ DCP (λ α 1 , λ α r,…) {\ displaystyle X \ sim {\ text {DCP}} (\ lambda {\ alpha _ {1}}, \ lambda {\ alpha _ {r}}, \ ldots)}
Fellerova charakterizace složeného Poissonova rozdělení uvádí, že nezáporné celé číslo s hodnotou je nekonečně dělitelné právě tehdy, je-li jeho distribucí diskrétní složené Poissonovo rozdělení. Lze ukázat, že záporné binomické rozdělení je rv. diskrétní nekonečně dělitelné, tj. pokud má X záporné binomické rozdělení, pak pro každé kladné celé číslo n existují diskrétní iid náhodné proměnné X1, …, Xn, jejichž součet má stejné rozdělení, jaké má X. Geometrické rozdělení posunu je diskrétní složené Poissonovo rozdělení si Protože se jedná o triviální případ záporné binomické distribuce.
Tato distribuce může modelovat příchozí dávky (například v hromadné frontě). Diskusní složená Poissonova distribuce je také široce používána v pojistněmatematické vědě pro modelování distribuce celkové částky pojistného plnění.
Když jsou některé α k {\ displaystyle \ alpha _ {k}} nezáporné, je diskrétní pseudosloučenina Poissonovo rozdělení. Definujeme, že jakákoli diskrétní náhodná proměnná Y {\ displaystyle Y} splňující pravděpodobnost generující charakterizaci funkce
GY (z) = ∑ n = 0 ∞ P (Y = n) zn = exp (∑ k = 1 ∞ α k λ (zk – 1)), (| z | ≤ 1) {\ displaystyle G_ {Y} (z) = \ součet \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} P (Y = n) z ^ { n} = \ exp \ left (\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {k} \ lambda (z ^ {k} -1) \ right), \ quad (| z | \ leq 1)}