P versus NPEdit
Otázkou je, zda u všech problémů, u nichž Algoritmus dokáže rychle ověřit dané řešení (tj. v polynomiálním čase), algoritmus také rychle najde toto řešení. Jelikož první popisuje třídu problémů nazývaných NP, zatímco druhá popisuje P, otázka odpovídá otázce, zda jsou všechny problémy v NP také v P. To je obecně považováno za jednu z nejdůležitějších otevřených otázek v matematice a teoretické informatice protože má dalekosáhlé důsledky pro další problémy v matematice a pro biologii, filozofii a kryptografii (viz P versus NP důsledky důkazů problémů). Běžným příkladem problému NP, o kterém není známo, že je v P, je problém Booleovské uspokojivosti.
Většina matematiků a počítačových vědců očekává, že P ≠ NP; zůstává však neprokázáno.
Oficiální prohlášení o problému přednesl Stephen Cook.
Hodgeova domněnkaEdit
Hodgeova domněnka spočívá v tom, že u projektivních algebraických variet jsou Hodgeovy cykly racionální lineární kombinace algebraických cyklů.
Oficiální vyjádření problému uvedl Pierre Deligne.
Riemann hypothesisEdit
Riemannova hypotéza spočívá v tom, že všechny netriviální nuly analytického pokračování Riemannovy zeta funkce mají skutečnou část 1/2. Důkaz nebo vyvrácení toho by mělo dalekosáhlé důsledky v teorii čísel, zejména pro distribuci prvočísel. Toto byl Hilbertův osmý problém a je o století později považován za důležitý otevřený problém.
Oficiální prohlášení o problému přednesl Enrico Bombieri.
Existence Yang – Mills and mass gapEdit
Ve fyzice je klasická teorie Yang – Mills zobecněním Maxwellovy teorie elektromagnetismu, kde chromo-elektromagnetické pole sám nese náboj. Jako klasická teorie pole má řešení, která se pohybují rychlostí světla, takže jeho kvantová verze by měla popisovat nehmotné částice (gluony). Předpokládaný jev omezování barev však umožňuje pouze vázané stavy gluonů, které tvoří masivní částice .Jedná se o masovou propast. Dalším aspektem uvěznění je asymptotická svoboda, díky níž je možné, že kvantová teorie Yang-Mills existuje bez omezení na nízkoenergetické stupnice. Problémem je důsledně stanovit existenci kvantové teorie Yang-Mills a hromadná propast.
Oficiální prohlášení o problému podali Arthur Jaffe a Edward Witten.
Navier – Stokesova existence a plynulostEdit
Rovnice Navier – Stokes popisují pohyb tekutin a jsou jedním z pilířů mechaniky tekutin. Teoretické porozumění jejich řešení je však neúplné. Zejména řešení Navier-Stokesových rovnic často zahrnuje turbulence, jejichž obecné řešení zůstává jedním z největších nevyřešených problémů ve fyzice, a to navzdory svému nesmírnému významu ve vědě a inženýrství.
Dokonce i základní vlastnosti řešení společnosti Navier – Stokes nebyla nikdy prokázána. Pro trojrozměrný systém rovnic a vzhledem k určitým počátečním podmínkám matematici dosud neprokázali, že plynulá řešení vždy existují po celou dobu. Tomu se říká problém existence a hladkosti Navier-Stokes.
Úkolem je pokročit směrem k matematické teorii, která poskytne vhled do těchto rovnic tím, že prokáže, že existují buď hladká globálně definovaná řešení, která splňují určité podmínky, nebo že ne vždy existují a rovnice se rozpadají.
Oficiální prohlášení o problému podal Charles Fefferman.
Birch a Swinnerton-Dyerova domněnkaEdit
Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka se zabývá určitými typy rovnic: těmi, které definují eliptické křivky nad racionálními čísly. Domníváme se, že existuje jednoduchý způsob, jak zjistit, zda tyto rovnice mají konečný nebo nekonečný počet racionálních řešení. Hilbertův desátý problém se zabýval obecnějším typem rovnice a v takovém případě se prokázalo, že neexistuje způsob, jak rozhodnout, zda daná rovnice má vůbec nějaké řešení.
Oficiální vyjádření problému dal Andrew Wiles.