Kinetická energie tuhých těles
V klasické mechanice je kinetická energie bodového objektu (objektu tak malého, že lze předpokládat, že jeho hmota existuje v jednom bod), nebo nerotující tuhé těleso závisí na hmotnosti tělesa a jeho rychlosti. Kinetická energie se rovná 1/2 součinu hmotnosti a druhé mocniny rychlosti. Ve formě vzorce:
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
kde m {\ displaystyle m} je hmotnost a rychlost těla (nebo rychlost). v {\ displaystyle v} V jednotkách SI se hmotnost měří v kilogramech, rychlost v metrech za sekundu a výsledná kinetická energie je v joulech.
Například by se dalo vypočítat kinetickou energii o hmotnosti 80 kg (asi 180 liber) ) cestování rychlostí 18 metrů za sekundu (asi 40 mph nebo 65 km / h) as
E k = 1 2 ⋅ 80 kg ⋅ (18 m / s) 2 = 12, 960 J = 12,96 kJ {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot 80 \, {\ text {kg}} \ cdot \ left (18 \, {\ text {m / s}} \ right ) ^ {2} = 12 960 \, {\ text {J}} = 12,96 \, {\ text {kJ}}}
Když někdo hodí míč, ten na něm pracuje, aby mu dal rychlost opouští ruku. Pohybující se koule pak může něco zasáhnout a zatlačit na ni, přičemž dělá práci na tom, na co zasáhne. Kinetická energie pohybujícího se objektu se rovná práci potřebné k jejímu uvedení z klidu na tuto rychlost, nebo práci, kterou může objekt vykonat, když je uveden do klidu: čistá síla × posunutí = kinetická energie, tj.
F s = 1 2 mv 2 {\ displaystyle Fs = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}
Protože kinetická energie roste s druhou mocninou rychlosti, má objekt zdvojnásobující svou rychlost čtyřikrát tolik kinetické energie. Například auto, které jede dvakrát rychleji než jiné, vyžaduje za účelem konstantní brzdné síly čtyřikrát větší vzdálenost. V důsledku tohoto čtyřnásobku trvá zdvojnásobení rychlosti čtyřnásobek práce.
Kinetická energie objektu souvisí s jeho hybností pomocí rovnice:
E k = p 2 2 m {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}
kde:
p {\ displaystyle p \;} je hybnost m {\ displaystyle m \;} je hmotnost tělesa
Pro translační kinetickou energii, tj. kinetickou energii spojenou s přímočarým pohybem, tuhého tělesa s konstantní hmotou, jehož těžiště je pohyb v přímce s rychlostí proti, jak je vidět výše, se rovná
E t = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {t}} = {\ frac {1 } {2}} mv ^ {2}}
kde:
m {\ displaystyle m \;} je hmotnost těla v {\ displaystyle v \;} je rychlost těžiště z těla.
Kinetická energie jakékoli entity závisí na referenčním rámci, ve kterém je měřena. Celková energie izolovaného systému, tj. Systému, ve kterém energie nemůže ani vstoupit, ani odejít, se však v průběhu času v referenčním rámci, ve kterém je měřena, nemění. Chemická energie přeměněná na kinetickou energii raketovým motorem je tedy rozdělena odlišně mezi raketovou loď a její výfukový proud v závislosti na zvoleném referenčním rámci. Tomu se říká Oberthův efekt. Celková energie systému, včetně kinetické energie, chemické energie paliva, tepla atd., Je však v průběhu času zachována, bez ohledu na volbu referenčního rámce. Různí pozorovatelé pohybující se s různými referenčními rámci by však nesouhlasili s hodnotou této konzervované energie.
Kinetická energie takových systémů závisí na volbě referenčního rámce: referenční rámec, který udává minimální hodnotu této energie je středem hybnosti, tj. referenčním rámcem, ve kterém je celková hybnost systému nulová. Tato minimální kinetická energie přispívá k neměnné hmotnosti systému jako celku.
Odvození
Práce vykonaná při zrychlování částice s hmotností m během nekonečně malého časového intervalu dt je dána vztahem bodový součin síly F a nekonečně malého posunutí dx
F ⋅ dx = F ⋅ vdt = dpdt ⋅ vdt = proti ⋅ dp = proti ⋅ d (mv), {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \ ,,}
kde jsme předpokládali vztah p = mv a platnost Newtonova druhého zákona. ( Podívejte se však také na speciální relativistickou derivaci níže.)
Při použití pravidla produktu vidíme, že:
d (v ⋅ v) = (dv) ⋅ v + v ⋅ (dv) = 2 (proti ⋅ dv). {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf {v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).}
Proto (za předpokladu nevýhod tantová hmota tak, že dm = 0), máme,
v ⋅ d (m v) = m 2 d (v ⋅ v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = {\ frac { m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).}
Jelikož se jedná o celkový rozdíl (to znamená, že záleží pouze na konečném stavu, nikoli na tom, jak se tam částice dostala), můžeme jej integrovat a výsledek nazvat kinetickou energií. Za předpokladu, že objekt byl v klidu v čase 0, integrujeme z času 0 do času t, protože práce vykonaná silou k přivedení objektu z klidu na rychlost v je stejná jako práce nutná k obrácení:
E k = ∫ 0 t F ⋅ dx = ∫ 0 tv ⋅ d (mv) = ∫ 0 td (mv 2 2) = mv 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v } \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {t} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right) = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}.}
Tato rovnice uvádí, že kinetická energie (Ek) se rovná integrálu bodového součinu rychlosti (v) tělesa a nekonečně malé změny tělesa “ hybnost (p). Předpokládá se, že těleso začíná bez kinetické energie, když je v klidu (nehybné).
Rotující tělesa
Pokud se tuhé těleso Q otáčí kolem jakákoli čára procházející středem hmoty má rotační kinetickou energii (E r {\ displaystyle E _ {\ text {r}} \,}), která je jednoduše součtem kinetických energií jejích pohyblivých částí, a je tedy dána :
E r = ∫ Q v 2 dm 2 = ∫ Q (r ω) 2 dm 2 = ω 2 2 ∫ Q r 2 dm = ω 2 2 I = 1 2 I ω 2 {\ Displaystyle E _ {\ text {r}} = \ int _ {Q} {\ frac {v ^ {2} dm} {2}} = \ int _ {Q} {\ frac {(r \ omega) ^ {2} dm} { 2}} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} \ int _ {Q} {r ^ {2}} dm = {\ frac {\ omega ^ {2}} {2}} já = {\ frac {1 } {2}} I \ omega ^ {2}}
kde:
(V této rovnici je třeba vzít moment setrvačnosti kolem osy procházející středem hmoty a rotace měřená pomocí ω musí být kolem této osy; obecnější rovnice existují pro systémy, kde objekt podléhá kolísání kvůli jeho excentrickému tvaru).
Kinetická energie systémů
Systém těles může mít vnitřní kinetickou energii kvůli relativní pohyb těles v systému. Například ve sluneční soustavě obíhají planety a planetoidy kolem Slunce. V nádrži s plynem se molekuly pohybují všemi směry. Kinetická energie systému je součtem kinetických energií těles, které obsahuje.
Makroskopické tělo, které je stacionární (tj. Referenční rámec byl zvolen tak, aby odpovídal středu hybnosti těla) ) může mít různé druhy vnitřní energie na molekulární nebo atomové úrovni, které lze považovat za kinetickou energii v důsledku molekulárního translace, rotace a vibrací, elektronového translace a rotace a jaderné rotace. To vše přispívá k tělu hmota, jak to poskytuje speciální teorie relativity. Když diskutujeme o pohybech makroskopického tělesa, kinetická energie, na kterou se odkazuje, je obvykle pouze z makroskopického pohybu. Všechny vnitřní energie všech typů však přispívají k hmotnosti, setrvačnosti a celkové energii těla.
Dynamika tekutin
V dynamice tekutin kinetická energie na jednotku objemu v každém bodě v nestlačitelné pole proudění kapaliny se v tomto bodě nazývá dynamický tlak.
E k = 1 2 mv 2 {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ { 2}}
Vydělením V, jednotkou objemu:
E k V = 1 2 m V v 2 q = 1 2 ρ v 2 {\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} {\ frac {E_ {\ text {k}}} {V}} & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {m} {V}} v ^ {2} \\ q & = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2} \ end {align}}}}
kde q {\ displaystyle q} je dynamický tlak a ρ je hustota nestlačitelné kapaliny.
Referenční rámec
Rychlost, a tím i kinetická energie jednoho objektu, je závislá na snímku (relativní ): může mít jakoukoli nezápornou hodnotu výběrem vhodného setrvačného referenčního rámce. Například kulka procházející pozorovatelem má v kinetické energii ferenční rámec tohoto pozorovatele. Stejná kulka je nehybná pro pozorovatele pohybujícího se stejnou rychlostí jako kulka, a má tedy nulovou kinetickou energii. Naproti tomu celkovou kinetickou energii soustavy objektů nelze vhodnou volbou inerciálního referenčního rámce snížit na nulu, pokud všechny objekty nemají stejnou rychlost. V každém jiném případě má celková kinetická energie nenulové minimum, protože nelze zvolit žádný setrvačný referenční rámec, ve kterém jsou všechny objekty stacionární. Tato minimální kinetická energie přispívá k invariantní hmotnosti systému, která je nezávislá na referenčním rámci.
Celková kinetická energie systému závisí na setrvačném referenčním rámci: je to součet celkového kinetická energie ve středu hybnosti a kinetická energie, kterou by celková hmotnost měla, kdyby byla koncentrována ve středu hmoty.
Toto může být jednoduše ukázáno: nechť V {\ displaystyle \ textstyle \ mathbf { V}} je relativní rychlost středu těžiště i v rámci k.Protože
v 2 = (vi + V) 2 = (vi + V) ⋅ (vi + V) = vi ⋅ vi + 2 vi ⋅ V + V ⋅ V = vi 2 + 2 vi ⋅ V + V 2 , {\ displaystyle v ^ {2} = \ levý (v_ {i} + V \ pravý) ^ {2} = \ levý (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ pravý) \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {V} = v_ {i} ^ {2} +2 \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {V} + V ^ {2},}
Potom
E k = ∫ v 2 2 dm = ∫ vi 2 2 dm + V ⋅ ∫ vidm + V 2 2 ∫ dm. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int {\ frac {v ^ {2}} {2}} dm = \ int {\ frac {v_ {i} ^ {2}} {2}} dm + \ mathbf {V} \ cdot \ int \ mathbf {v} _ {i} dm + {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ int dm.} E k = E i + MV 2 2. {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E_ {i} + {\ frac {MV ^ {2}} {2}}.}
Kinetická energie systému je tedy od středu reference hybnosti rámce, tj. referenční rámce, ve kterých je těžiště stacionární (buď střed těžiště nebo jakýkoli jiný střed hybnosti). V jakémkoli jiném referenčním rámci existuje další kinetická energie odpovídající celkové hmotnosti pohybující se rychlostí těžiště. Kinetická energie systému ve středu hybnosti je veličina, která je neměnná (všichni pozorovatelé to vidí stejně).
Rotace v systémech
Někdy je to vhodné rozdělit celkovou kinetickou energii těla na součet tělesné translační kinetické energie a energie rotace kolem středu hmoty (rotační energie):
E k = E t + E r {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = E _ {\ text {t}} + E _ {\ text {r}} \,}
kde:
Ek je celková kinetická energie Et je translační kinetická energie Er je rotační energie nebo úhlová kinetická energie v klidovém rámci
Kinetická energie tenisového míčku za letu je tedy kinetická energie způsobená jeho rotací plus kinetická energie způsobená jeho translací.