Základní definiceUpravit
Funkci f lze reinterpretovat jako rodinu funkcí jedné proměnné indexované ostatními proměnnými:
f (x, y ) = fy (x) = x 2 + xy + y 2. {\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
Jinými slovy, každá hodnota y definuje funkci označenou fy , což je funkce jedné proměnné x. To znamená,
f y (x) = x 2 + x y + y 2. {\ displaystyle f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}
V této části označuje dolní index fy funkci závislou na pevné hodnotě y, nikoli a částečná derivace.
fa (x) = x 2 + ax + a 2. {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}.}
V tomto výrazu je a konstanta, nikoli proměnná, takže fa je funkcí pouze jednoho skutečná proměnná, to je x. V důsledku toho platí definice derivace pro funkci jedné proměnné:
f a ′ (x) = 2 x + a. {\ displaystyle f_ {a} „(x) = 2x + a.}
Výše uvedený postup lze provést pro jakoukoli volbu a. Sestavením derivací do funkce získáme funkci, která popisuje variaci f v směr x:
∂ f ∂ x (x, y) = 2 x + y. {\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (x, y) = 2x + y.}
Toto je částečná derivace f vzhledem k x. Zde ∂ je zaoblený d, který se nazývá symbol částečné derivace. Abychom jej odlišili od písmene d, je ∂ někdy vyslovováno „částečné“.
Obecně platí, že parciální derivace n-ary funkce f (x1, …, xn) ve směru xi v bodě (a1, …, an) je definována jako:
∂ f ∂ xi (a 1,…, an) = lim h → 0 f (a 1,…, ai + h,…, an) – f (a 1,…, ai,…, an) h. {\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ lim _ {h \ až 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}}.}
Ve výše uvedeném rozdílovém kvocientu všechny proměnné kromě x jsem držen pevně. Tato volba pevných hodnot určuje funkci jedné proměnné
fa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, an (xi) = f (a 1,…, ai – 1, xi, ai + 1,…, an), {\ displaystyle f_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}} (x_ {i}) = f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, x_ {i}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}),}
a podle definice,
dfa 1,…, ai – 1, ai + 1,…, andxi (ai) = ∂ f ∂ xi (a 1, …, an). {\ displaystyle {\ frac {df_ {a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}}} {dx_ {i}}} (a_ { i}) = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x_ {i}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}).}
Jinými slovy, různé možnosti indexu rodina funkcí jedné proměnné stejně jako v příkladu výše. Tento výraz také ukazuje, že výpočet parciálních derivací se redukuje na výpočet derivátů s jednou proměnnou.
∇ f (a) = (∂ f ∂ x 1 (a),…, ∂ f ∂ xn (a)) . {\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x_ { n}}} (a) \ right).}
Tento vektor se nazývá přechod f v a. Pokud je f diferencovatelné v každém bodě nějaké domény, pak je gradient funkcí s vektorovou hodnotou ∇f, která vezme bod a do vektoru ∇f (a). V důsledku toho přechod vytvoří vektorové pole.
∇ = i ^ + j ^ + k ^ {\ displaystyle \ nabla = \ left {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left {\ hat {\ mathbf {k}}}} ∇ = ∑ j = 1 ne ^ j = e ^ 1 + e ^ 2 +… + e ^ n {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ ldots + \ left {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}
Formální definiceUpravit
∂ ∂ xif ( a) = lim h → 0 f (a 1,…, ai – 1, ai + h, ai + 1,…, an) – f (a 1, …, ai,…, an) h = lim h → 0 f (a + hei) – f (a) h {\ displaystyle {\ start {zarovnáno} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1 }, \ ldots, a_ {n}) – f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + he_ {i}) – f (\ mathbf {a})} {h}} \ end {zarovnáno}} }
I když v daném bodě a existují všechny parciální derivace ∂f / ∂xi (a),, funkce tam nemusí být nepřetržitá. Pokud však všechny parciální derivace existují v sousedství a a jsou tam spojité, pak f je v tomto sousedství zcela diferencovatelné a celková derivace je spojitá. V tomto případě se říká, že f je funkce C1. To lze použít ke zobecnění funkcí oceněných vektorem, a to opatrným použitím komponentního argumentu.
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i.{\ displaystyle {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné x_ {i} \ částečné x_ {j}}} = {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné x_ {j} \ částečné x_ {i}}}.}