Apothem a lze použít k vyhledání oblasti libovolného pravidelného n-stranného mnohoúhelníku o délce strany s podle následujícího vzorce, který také uvádí, že plocha se rovná vynásobenému apothemu o polovinu obvodu od ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Tento vzorec lze odvodit rozdělením n-stranného polygonu na n shodných rovnoramenných trojúhelníků a pak si všiml, že apothem je výška každého trojúhelníku a že plocha trojúhelníku se rovná polovině základny krát výšce. Následující formulace jsou ekvivalentní:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 dětská postýlka (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Apothem pravidelného mnohoúhelníku bude vždy poloměrem vepsané kružnice. Je to také minimální vzdálenost mezi libovolnou stranou mnohoúhelníku a jeho středem.
Tuto vlastnost lze také použít ke snadnému odvození vzorce pro plochu kruhu, protože jak se počet stran blíží nekonečnu, oblast pravidelného mnohoúhelníku se blíží oblasti vepsané kružnice o poloměru r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}