Adiabatický proces

Matematická rovnice pro ideální plyn procházející reverzibilním (tj. ne generování entropie) adiabatický proces může být reprezentován rovnicí polytropického procesu

PV γ = konstanta, {\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {stálá}},}

kde P je tlak, V je objem, a pro tento případ n = γ, kde

γ = CPCV = f + 2 f, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {f + 2} {f}},}

CP je specifické teplo pro konstantní tlak, CV je specifické teplo pro konstantní objem, γ je adiabatický index a f je počet stupňů volnosti (3 pro monatomický plyn, 5 pro diatomický plyn a kolineární molekuly, např. oxid uhličitý).

Pro monatomický ideální plyn platí γ = 5/3 a pro křemelinu (jako je dusík a kyslík, hlavní složky vzduchu), γ = 7/5. Všimněte si, že výše uvedený vzorec je použitelný pouze pro klasické ideální plyny a ne pro Bose-Einsteinovy nebo Fermiho plyny.

U reverzibilních adiabatických procesů také platí, že

P 1 – γ T γ = konstantní , {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = {\ text {stálá}},} VT f 2 = konstantní, {\ displaystyle VT ^ {\ frac {f} {2}} = {\ text {constant}},}

kde T je absolutní teplota. To lze také napsat jako

T V γ – 1 = konstantní. {\ displaystyle TV ^ {\ gamma -1} = {\ text {constant}}.}

Příklad adiabatické kompreseEdit

Jako příklad adiabatické lze použít kompresní zdvih v benzínovém motoru. komprese. Předpoklady modelu jsou: nestlačený objem válce je jeden litr (1 l = 1000 cm3 = 0,001 m3); plyn uvnitř je vzduch sestávající pouze z molekulárního dusíku a kyslíku (tedy diatomický plyn s 5 stupni volnosti, a tak γ = 7/5); kompresní poměr motoru je 10: 1 (to znamená, že objem 1 litru nestlačeného plynu je pístem snížen na 0,1 litru); a nestlačený plyn má přibližně pokojovou teplotu a tlak (teplá pokojová teplota ~ 27 ° C nebo 300 K a tlak 1 bar = 100 kPa, tj. typický atmosférický tlak na úrovni moře).

P 1 V γ = konstantní 1 = 100 000 Pa × (0,001 m 3) 7 5 {\ Displaystyle P_ {1} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {stálá} _ {1} = 100 \, 000 ~ {\ text {Pa}} \ krát (0,001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}} = 10 5 × 6,31 × 10 – 5 Pa m 21/5 = 6,31 Pa m 21/5, {\ displaystyle = 10 ^ {5} \ krát 6,31 \ krát 10 ^ {- 5} ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5},}

takže naše adiabatická konstanta pro tento příklad je přibližně 6,31 Pa m4,2.

Plyn je nyní stlačen na objem 0,1 l (0,0001 m3) (předpokládáme, že k tomu dojde dostatečně rychle, aby ze stěn nemohlo do plynu vstupovat ani z něj odcházet žádné teplo). Adiabatická konstanta zůstává stejná, ale s výsledným tlakem neznámým.

P 2 V γ = konstanta 1 = 6,31 Pa m 21/5 = P × (0,0001 m 3) 7 5, {\ displaystyle P_ {2} V ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant} _ {1} = 6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5} = P \ krát (0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}},}

takže řešení pro P2:

P 2 = 6,31 Pa m 21/5 (0,0001 m 3) 7 5 = 6,31 Pa m 21/5 2,5 × 10 – 6 m 21/5 = 2,51 × 10 6 Pa, {\ displaystyle P_ {2} = {\ frac {6,31 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text { m}} ^ {21/5}} {(0,0001 ~ {\ text {m}} ^ {3}) ^ {\ frac {7} {5}}}} = {\ frac {6,31 ~ {\ text { Pa}} \, {\ text {m}} ^ {21/5}} {2,5 \ krát 10 ^ {- 6} ~ {\ text {m}} ^ {21/5}}} = 2,51 \ krát 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}},}

nebo 25,1 bar. Všimněte si, že toto zvýšení tlaku je více, než by naznačoval jednoduchý kompresní poměr 10: 1; je to proto, že plyn není pouze stlačován, ale práce vykonaná na stlačování plynu také zvyšuje jeho vnitřní energii, což se projevuje zvýšením teploty plynu a dalším zvýšením tlaku nad to, co by bylo výsledkem zjednodušujícího výpočtu 10 krát původní tlak.

Můžeme také vyřešit teplotu stlačeného plynu ve válci motoru pomocí zákona ideálního plynu, PV = nRT (n je množství plynu v molech a R plyn konstanta pro tento plyn). Naše počáteční podmínky jsou 100 kPa tlaku, objem 1 l a teplota 300 K, naše experimentální konstanta (nR) je:

PVT = konstanta 2 = 10 5 Pa × 10 – 3 m 3 300 K = 0,333 Pa m 3 K – 1. {\ displaystyle {\ frac {PV} {T}} = \ operatorname {constant} _ {2} = {\ frac {10 ^ {5} ~ {\ text {Pa}} \ krát 10 ^ {- 3} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {300 ~ {\ text {K}}}} = 0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1}.}

Víme, že stlačený plyn má V = 0,1 L a P = 2,51 × 106 Pa, takže můžeme vyřešit teplotu:

T = PV konstanta 2 = 2,51 × 10 6 Pa × 10 – 4 m 3 0,333 Pa m 3 K – 1 = 753 K. {\ displaystyle T = {\ frac {PV} {\ operatorname {constant} _ {2}}} = {\ frac {2,51 \ krát 10 ^ {6} ~ {\ text {Pa}} \ krát 10 ^ {- 4} ~ {\ text {m}} ^ {3}} {0,333 ~ {\ text {Pa}} \, {\ text {m}} ^ {3} {\ text {K}} ^ {- 1} }} = 753 ~ {\ text {K}}.}

To je konečná teplota 753 K nebo 479 ° C nebo 896 ° F, což je značně nad bodem vznícení mnoha paliv. To je důvod, proč motor s vysokou kompresí vyžaduje paliva speciálně vyvinutá tak, aby se samovznícení (které by při provozu za těchto podmínek teploty a tlaku způsobilo klepání motoru), nebo aby kompresor s mezichladičem zajišťoval zvýšení tlaku, ale s nižším zvýšení teploty by bylo výhodné. Dieselový motor pracuje za ještě extrémnějších podmínek, přičemž typické jsou kompresní poměry 16: 1 nebo více, aby byla zajištěna velmi vysoká teplota plynu, která zajišťuje okamžité zapálení vstřikovaného paliva.

Bez adiabatika expanze plynu Upravit

Pro adiabatickou volnou expanzi ideálního plynu je plyn obsažen v izolované nádobě a poté je umožněno jeho expanzi ve vakuu. Protože pro expanzi plynu neexistuje žádný vnější tlak, práce prováděná systémem nebo na něm je nulová. Jelikož tento proces nezahrnuje žádný přenos tepla ani práci, první zákon termodynamiky pak naznačuje, že čistá změna vnitřní energie systému je nulová. U ideálního plynu zůstává teplota konstantní, protože vnitřní energie v takovém případě závisí pouze na teplotě. Protože při konstantní teplotě je entropie úměrná objemu, entropie se v tomto případě zvyšuje, proto je tento proces nevratný.

Odvození vztahu P – V pro adiabatické vytápění a chlazení Upravit

Definice adiabatického procesu spočívá v tom, že přenos tepla do systému je nulový, δQ = 0. Pak podle prvního zákona termodynamiky

(1) d U + δ W = δ Q = 0, { \ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad dU + \ delta W = \ delta Q = 0,}

kde dU je změna vnitřní energie systému a δW je práce vykonaná systémem. Jakákoli práce (δW) musí být provedena na úkor vnitřní energie U, protože z okolí není dodáváno žádné teplo δQ. Tlakově objemová práce δW provedená systémem je definována jako

(2) δ W = P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad \ delta W = P \, dV.}

P však během adiabatického procesu nezůstává konstantní, ale místo toho se mění spolu s V.

Je žádoucí vědět, jak hodnoty dP a dV vzájemně souvisejí s postupem adiabatického procesu. Pro ideální plyn (připomeňme zákon ideálního plynu PV = nRT) je vnitřní energie dána vztahem

(3) U = α n RT = α PV, {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad U = \ alpha nRT = \ alpha PV,}

kde α je počet stupňů volnosti dělený dvěma, R je univerzální plynová konstanta an je počet molů v systému (konstanta).

Diferenciační rovnice (3) výnosy

(4) d U = α n R d T = α d (PV) = α (P d V + V d P). {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad dU = \ alpha nR \, dT = \ alpha \, d (PV) = \ alpha (P \, dV + V \, dP).}

Rovnice (4) je často vyjádřena jako dU = nCV dT, protože CV = αR.

Nyní dosaďte rovnice (2) a (4) do rovnice (1), abyste získali

– P d V = α P d V + α V d P, {\ Displaystyle -P \, dV = \ alfa P \, dV + \ alfa V \, dP,}

faktorizovat −P dV:

– (α + 1 ) P d V = α V d P, {\ displaystyle – (\ alpha +1) P \, dV = \ alfa V \, dP,}

a obě strany vydělíme PV:

– (α + 1) d VV = α d PP. {\ displaystyle – (\ alpha +1) {\ frac {dV} {V}} = \ alpha {\ frac {dP} {P}}.}

Po integraci levé a pravé strany z V0 na V a od P0 do P a změna stran,

ln ⁡ (PP 0) = – α + 1 α ln ⁡ (VV 0). {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = – {\ frac {\ alpha +1} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ right).}

Vyjádřete obě strany, dosaďte α + 1 / α za γ, poměr tepelné kapacity

(PP 0) = (VV 0) – γ, { \ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V} {V_ {0}}} \ right) ^ {- \ gamma},}

a eliminujte záporné znaménko, abyste získali

(PP 0) = (V 0 V) γ. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) = \ left ({\ frac {V_ {0}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Proto,

(PP 0) (VV 0) γ = 1, {\ displaystyle \ left ({\ frac {P} {P_ {0}}} \ right) \ left ({\ frac {V } {V_ {0}}} \ vpravo) ^ {\ gamma} = 1,}

a

P 0 V 0 γ = PV γ = konstanta. {\ displaystyle P_ {0} V_ {0} ^ {\ gamma} = PV ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Odvození vztahu P – T pro adiabatické vytápění a chlazení Upravit

Dosazením zákona ideálního plynu do výše získáme

P (n RTP) γ = konstanta, {\ displaystyle P \ left ({\ frac {nRT} {P}} \ right) ^ {\ gamma } = \ operatorname {constant},}

což zjednodušuje na

P 1 – γ T γ = konstanta. {\ displaystyle P ^ {1- \ gamma} T ^ {\ gamma} = \ operatorname {constant}.}

Odvození diskrétního vzorce a pracovního výrazu Upravit

Změna vnitřní energie systému , měřeno od stavu 1 do stavu 2, se rovná

(1) Δ U = α R n T 2 – α R n T 1 = α R n Δ T. {\ displaystyle {\ text {(1)}} \ qquad \ Delta U = \ alpha RnT_ {2} – \ alpha RnT_ {1} = \ alpha Rn \ Delta T.}

Zároveň se práce prováděná změnami tlaku a objemu v důsledku tohoto procesu rovná

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V. {\ displaystyle {\ text {(2)}} \ qquad W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P \, dV.}

Protože požadujeme, aby byl proces adiabatický, následující rovnice musí být pravdivá

(3) Δ U + W = 0. {\ displaystyle {\ text {(3)}} \ qquad \ Delta U + W = 0.}

Podle předchozí derivace,

(4) PV γ = konstanta = P 1 V 1 γ. {\ displaystyle {\ text {(4)}} \ qquad PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma}.}

Přeskupení (4 ) dává

P = P 1 (V 1 V) γ. {\ displaystyle P = P_ {1} \ left ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ right) ^ {\ gamma}.}

Dosazením do (2) získáte

W = ∫ V 1 V 2 P 1 (V 1 V) γ d V. {\ displaystyle W = \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} P_ {1} \ vlevo ({\ frac {V_ {1}} {V}} \ vpravo) ^ {\ gamma} \ , dV.}

Integrací získáme výraz pro práci,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 – γ – V 1 1 – γ 1 – γ = P 2 V 2 – P 1 V 1 1 – γ. {\ displaystyle W = P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} {\ frac {V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma}} {1- \ gamma}} = {\ frac {P_ {2} V_ {2} -P_ {1} V_ {1}} {1- \ gamma}}.}

Dosazení γ = α + 1 / α ve druhém semestru,

W = – α P 1 V 1 γ (V 2 1 – γ – V 1 1 – γ). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} ^ {\ gamma} \ vlevo (V_ {2} ^ {1- \ gamma} -V_ {1} ^ {1- \ gamma} \ vpravo) .}

Přeskupení,

W = – α P 1 V 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha P_ {1} V_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right).}

Pomocí zákona o ideálním plynu a za předpokladu konstantního molárního množství (v praktických případech se to často stává),

W = – α n RT 1 ((V 2 V 1) 1 – γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right) ^ {1- \ gamma} -1 \ right). }

Podle spojitého vzorce,

P 2 P 1 = (V 2 V 1) – γ, {\ displaystyle {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} = \ vlevo ( {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ vpravo) ^ {- \ gamma},}

nebo

(P 2 P 1) – 1 γ = V 2 V 1. {\ displaystyle \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}.}

Dosazení do předchozího výrazu pro W,

W = – α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle W = – \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma }} – 1 \ right).}

Nahrazením tohoto výrazu a (1) v (3) získá

α n R (T 2 – T 1) = α n RT 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1). {\ displaystyle \ alpha nR (T_ {2} -T_ {1}) = \ alpha nRT_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ vpravo).}

Zjednodušení,

T 2 – T 1 = T 1 ((P 2 P 1) γ – 1 γ – 1), {\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = T_ {1} \ left (\ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac { \ gamma -1} {\ gamma}} – 1 \ vpravo),} T 2 T 1 – 1 = (P 2 P 1) γ – 1 γ – 1, {\ displaystyle {\ frac {T_ {2}} { T_ {1}}} – 1 = \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} – 1,} T 2 = Ti (P 2 P 1) γ – 1 γ. {\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} \ left ({\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}}. }