El apotema a se puede usar para encontrar el área de cualquier polígono regular de n lados de longitud de lado s de acuerdo con la siguiente fórmula, que también establece que el área es igual a la apotema multiplicada por la mitad del perímetro ya que ns = p.
A = nsa 2 = pa 2. {\ displaystyle A = {\ frac {nsa} {2}} = {\ frac {pa} {2}}.}
Esta fórmula se puede derivar dividiendo el polígono de n lados en n triángulos isósceles congruentes, y luego observando que la apotema es la altura de cada triángulo, y que el área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura. Las siguientes formulaciones son todas equivalentes:
A = 1 2 nsa = 1 2 pa = 1 4 ns 2 cot (π n) = na 2 tan (π n) {\ displaystyle A = {\ tfrac {1 } {2}} nsa = {\ tfrac {1} {2}} pa = {\ tfrac {1} {4}} ns ^ {2} \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right) = na ^ {2} \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}
Una apotema de un polígono regular siempre será un radio del círculo inscrito. También es la distancia mínima entre cualquier lado del polígono y su centro.
Esta propiedad también se puede usar para derivar fácilmente la fórmula para el área de un círculo, porque a medida que el número de lados se acerca al infinito, el área del polígono regular se aproxima al área del círculo inscrito de radio r = a.
A = pa 2 = (2 π r) r 2 = π r 2 {\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}} = {\ frac {(2 \ pi r) r} {2}} = \ pi r ^ {2}}